Nous étudions des approximations des équations de Navier-Stokes compatibles avec la recherche de solutions auto-similaires. Pour ce faire, nous utilisons un modèle préservant le changement d'échelle et vérifiant une égalité d'énergie. Lorsque la donnée initiale est dans L2, nous montrons qu'il converge vers une solution faible de Leray des équations de Navier-Stokes. La preuve utilise une nouvelle expression (locale) de la pression : via le formalisme des solutions "mild", le théorème de régularité maximale du noyau de la chaleur permet le contrôle de la pression approchée. Les chapitres suivants sont consacrés à la construction d'une solution des équations de Navier-Stokes, globale en temps et adaptée au sens de Caffarelli, Kohn et Nirenberg, lorsque la donnée initiale est dans M 2;3 : la pression est cette fois contrôlée grâce à l'utilisation des classes de Muckenhoupt (dont les propriétés utilisées sont rappelées dans l'annexe B). De plus, nous obtenons un résultat partiel d'unicité sur ces approximations.La première partie est consacrée a l'étude d'un modèle scalaire ayant les mêmes propriétés que celui celui des équations de Navier-Stokes (invariances par translation et dilatation, antisymétrie du terme bilinéaire) mais contenant un opérateur d'intégrale singulière : nous revisitons les techniques habituelles (solutions "mild", faibles) et construisons une solution vérifiant une inégalité d'énergie locale analogue à celle des équations de Navier-Stokes. / We study some approximations for the Navier-Stokes equations compatible with the research of self-similar solutions : for this, we use some scaling and energy equality preserving models. When initial data is in L2, we show that the model converges towards some (Leray) weak solution of the Navier-Stokes equations. In the proof, we use a new (local) expression of the pressure, whose control is ensured using the maximal regularity for the heat kernel thanks to the formalism of mild solutions. The following chapters are devoted to the construction of a global-in-time suitable solution for the Navier-Stokes equations, when initial data is in _M 2;3 : Muckenhout classes allow to control the pressure (see Annex B). Besides, we obtain a partial result of uniqueness of these approximations. In the first part, we study a scalar model whose properties are similar to the NS equations (invariance by translations and dilations, antisymmetry of the bilinear term) but which contains a singular integral operator : using on some classical harmonic analysis tools (mild and weak solutions), we prove that the solution also satisfies a local energy inequality.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:theses.fr/2010EVRY0037 |
| Date | 10 December 2010 |
| Creators | Lelièvre, Frédéric |
| Contributors | Evry-Val d'Essonne, Lemarié, Pierre Gilles |
| Source Sets | Dépôt national des thèses électroniques françaises |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
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