[EN] The essential topic of this memory is the study of H-matrices as they
were introduced by Ostrowski and hereinafter extended and developed by
different authors. In this study three slopes are outlined: 1) the iterative or
automatic determination of H-matrices, 2) the properties inherent in the
H-matrices and 3) the matrices related to H-matrices.
H-matrices acquire every time major relevancy due to the fact that
they arise in numerous applications so much in Mathematics, since in the
Industry between. Between these applications we can mention the following
ones: 1) in the discretization of certain parabolic non-linear equations, 2)
in the system resolution of linear equations, assuring his presence the convergence
of iterative classic methods and 3) in the resolution of problems of
free contour in Analysis of Fluids.
It is very important to observe that some H-matrices transform in H-
matrices for the action of some matrix operation on them. Such it is the case
of the matrix operation known as Hadamard's Product, that is to say, the
product element to element of two matrices. If this product realizes between
the elements of a matrix and the elements of its inverse transpose then this
matrix product is called combined matrix. The combined matrix is an H-
matrix under certain conditions of the original matrix and, in addition, the
combined matrix is linked to applications very important as the Relative
Gain in chemical processes or the relation between the eigenvalues of the
original matrix and the elements of a diagonalizable matrix. In addition,
provided that the sum of every row and of every column is equal to one, in
those cases in which the combined matrix is not negative, C(A) is a doubly
stochastic matrix and therefore it is of great usefulness in the Statistical
Theory.
The present memory is structured of the following way. In the first chapter,
after the introduction, we present the notation, the basic concepts and
previous results developed by other authors and that are going to be used
largely in the memory.
xiii
xiv
In the Chapter 2 we present and analyze different algorithms that have
been proposed by the aim to determine when a given matrix is or is not
an H-matrix. It is emphasized in the study of those algorithms that have
turned out to be the most efficient and in the most relevant part of this
chapter we present a new algorithm that turns out to be a contribution to
the literature of the algorithms for the determination or identification of
H-matrices, as well as of his character.
In the Chapter 3 we widely studied the combined matrix of a nonsingular
H-matrices and we obtain new and important properties of the combined
matrix of H-matrices.
In the Chapter 4 we calculate the combined matrix of diagonally dominant
and equipotent matrices and also we obtain new and important
results that relate the combined matrix of these diagonally dominant and
equipotent matrices to H-matrices.
In Chapter 5, like summary, we outline the principal achievements
reached during the development of this memory and, in addition, enumerate
the works on which already we are working and also we present some of the
principal lines of investigation for the near future.
Finally, in the appendices we present, in format MATLAB, different
algorithms studied in Chapter 2 that make the automatic determination of
H-matrices as a purpose. Especially, is outlined the codification of the new
algorithm proposed with each of its parts in the correct order to be run in
the computer. / [ES] El tema esencial de esta memoria es el estudio de las H-matrices tal y
como fueron introducidas por Ostrowski y más adelante ampliadas y desarrolladas
por diferentes autores.
En ese estudio se destacan tres vertientes: 1) la determinación iterativa
o automática de las H-matrices, 2) las propiedades inherentes a las H-
matrices y 3) las matrices relacionadas con las H-matrices.
Las H-matrices adquieren cada vez mayor relevancia debido a que surgen
en numerosas aplicaciones tanto en la ciencia Matemática como en la
Industria. Entre esas aplicaciones podemos citar las siguientes: 1) en la discretización
de ciertas ecuaciones parabólicas no lineales, 2) en la resolución
de sistemas de ecuaciones lineales, asegurando su presencia la convergencia
de métodos iterativos clásicos y 3) en la resolucion de problemas de contorno
libre en Análisis de Fluidos.
Es de suma importancia observar que algunas matrices devienen en H-
matrices por la acción de alguna operación matricial sobre ellas. Tal es el
caso de la operación matricial conocida como Producto de Hadamard, es
decir, el producto elemento a elemento de dos matrices. Si este producto
se realiza entre los elementos de una matriz y los elementos de su matriz
inversa traspuesta, entonces la matriz producto, denominada Matriz Combinada,
puede ser una H-matriz bajo determinadas condiciones de la matriz
original y, además, la matriz combinada está vinculada a aplicaciones muy
importantes como la Ganancia Relativa en procesos químicos o la relación
entre los valores propios de la matriz original y los elementos de una matriz
diagonalizable. Además, dado que la suma de cada fila y de cada columna
de una matriz combinada es exactamente igual a 1, en aquellos casos
en que la matriz combinada sea no negativa, C(A) es una matriz doblemente
estocástica y por tanto puede ser de gran utilidad en Estadística y
Probabilidad.
La memoria está estructurada por capítulos de la siguiente manera. En
cada uno de ellos se presentan las aportaciones de la misma.
ix
x
En el Capítulo 1, luego de la introducción, se da la notación y se definen
los conceptos básicos y, además, se enuncian los resultados previos de ámbito
general desarrollados por otros autores y que van a ser utilizados en gran
parte de la memoria.
En el Capítulo 2 se presentan y analizan diferentes algoritmos que han
sido propuestos con el objetivo de determinar cuándo una matriz dada es o
no es una H-matriz. Se hace hincapié en el estudio de aquellos algoritmos
que han resultado ser los más eficientes y en la parte más relevante de
este capítulo se presenta un nuevo algoritmo de menor coste computacional
que los anteriores y más sencillo de programar, que resulta ser un aporte
a la literatura de los algoritmos para la determinación o identificación de
las H-matrices, así como de su carácter y también determina los bloques
diagonales irreducibles.
En el Capítulo 3 se estudia ampliamente la matriz combinada de H-
matrices no singulares y se obtienen también nuevos e importantes resultados
sobre las propiedades de la matriz combinada de H-matrices. Se demuestra
que la matriz combinada de una H-matriz de la clase invertible es
también H-matriz de la misma clase. Además, se prueba que la matriz combinada
de una H-matriz de la clase mixta no singular es también H-matriz.
En el Capítulo 4 se calcula la matriz combinada de matrices diagonalmente
dominantes equipotentes. En particular, se demuestra que la matriz
combinada de una H-matriz, denominada DmP es siempre una H-matriz
de la clase mixta pero singular. Para otras H-matrices que no son DmP se
prueba que su matriz combinada es H-matriz de la clase invertible. Se conjetura
que todas las H-matrices de la clase mixta que no son DmP tienen
esta última propiedad.
En el Capítulo 5 se recogen, a modo de resumen, los principales logros
alcanzados durante el desarrollo de esta memoria y, además, se enumeran
los trabajos sobre los cuales ya se está trabajand / [CAT] El tema essencial d'aquesta memòria és l'estudi de les H-matrius tal
com van ser introduïdes per Ostrowski i més endavant ampliades i desenvolupades
per diferents autors.
En aqueix estudi es destaquen tres vessants: 1) la determinació iterativa
o automàtica de les H-matrius, 2) les propietats inherents a les H-matrius
i 3) les matrius relacionades amb les H-matrius.
Les H-matrius adquireixen cada vegada major rellevància a causa que
sorgeixen en nombroses aplicacions tant en la ciència Matemàtica com en
la Indústria. Entre aqueixes aplicacions podem citar les següents: 1) en la
discretització de certes equacions parabòliques no-lineals, 2) en la resolució
de sistemes d'equacions lineals, assegurant la seua presència la convergència
de mètodes iteratius clàssics i 3) en la resolució de problemes de contorn
lliure en Anàlisi de Fluids.
És de summa importància observar que algunes matrius esdevenen en
H-matrius per l'acció d'alguna operació matricial sobre elles. Tal és el cas
de l'operació matricial coneguda com a Producte de Hadamard, és a dir, el
producte element a element de dues matrius. Si aquest producte es realitza
entre els elements d'una matriu i els elements de la seua matriu inversa
trasposada, llavors la matriu producte, denominada Matriu Combinada, pot
ser una H-matriu sota determinades condicions de la matriu original i, a
més, la matriu combinada està vinculada a aplicacions molt importants com
el Guany Relatiu en processos químics o la relació entre els valors propis
de la matriu original i els elements d'una matriu diagonalitzable. A més,
atès que la suma de cada fila i de cada columna d'una matriu combinada
és exactament igual a 1, en aquells casos en què la matriu combinada siga
no negativa, C(A) és una matriu doblement estocàstica i per tant pot ser
de gran utilitat en Estadística i Probabilitat.
La memòria està estructurada per capítols de la següent manera. En
cadascun d'ells es presenten les aportacions de la mateixa.
En el Capítol 1, després de la introducció, es dóna la notació i es defixi
xii
neixen els conceptes bàsics i , a més, s'enuncien els resultats previs d'àmbit
general desenvolupats per altres autors i que van a ser utilitzats en gran
part de la memòria.
En el Capítol 2 es presenten i analitzen diferents algorismes que han
sigut proposats amb l'objectiu de determinar quan una matriu donada és
o no és una H-matriu. Es posa l'accent en l'estudi d'aquells algorismes que
han resultat ser els més eficients i en la part més rellevant d'aquest capítol
es presenta un nou algorisme de menor cost computacional que els anteriors
i mes senzill de programar, que resulta ser una aportació a la literatura dels
algorismes per a la determinació o identificació de les H-matrius, així com
del seu caràcter i també determina els blocs diagonals irreductibles.
En el Capítol 3 s'estudia àmpliament la matriu combinada d'H-matrius
no singulars i s'obtenen també nous i importants resultats sobre les propietats
de la matriu combinada d'H-matrius. Es demostra que la matriu
combinada d'una H-matriu de la classe invertible és també H-matriu de la
mateixa classe. A més, es prova que la matriu combinada d'una H-matriu
de la classe mixta no singular és també H-matriu.
En el Capítol 4 es calcula la matriu combinada de matrius diagonalment
dominants equipotents. En particular, es demostra que la matriu combinada
d'una H-matriu, denominada DmP és sempre una H-matriu de la classe
mixta però singular. Per a altres H-matrius que no són DmP es prova que
la seua matriu combinada és H-matriu de la classe invertible. Es conjectura
que totes les H-matrius de la classe mixta que no són DmP tenen aquesta
última propietat.
En el Capítol 5 s'arrepleguen, a manera de resum, els principals assoliments
aconseguits durant el desenvolupament d'aquesta memòria i, a més,
s'enumeren els treballs sobre els quals ja s'està treballant i s'esbossen algunes
de les principal / Scott Guilleard, JA. (2015). Determinación y propiedades de H-matrices [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/58766 / TESIS
| Identifer | oai:union.ndltd.org:upv.es/oai:riunet.upv.es:10251/58766 |
| Date | 14 December 2015 |
| Creators | Scott Guilleard, José Antonio |
| Contributors | Bru García, Rafael, Gasso Matoses, María Teresa, Gimenez Manglano, María Isabel, Universitat Politècnica de València. Departamento de Matemática Aplicada - Departament de Matemàtica Aplicada |
| Publisher | Universitat Politècnica de València |
| Source Sets | Universitat Politècnica de València |
| Language | Spanish |
| Detected Language | Spanish |
| Type | info:eu-repo/semantics/doctoralThesis, info:eu-repo/semantics/acceptedVersion |
| Rights | http://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/, info:eu-repo/semantics/openAccess |
Page generated in 0.004 seconds