This thesis is concerned with the development of numerical methods using finite difference techniques for the discretization of initial value problems (IVPs) and initial boundary value problems (IBVPs) of certain hyperbolic systems which are first order in time and second order in space. This type of system appears in some formulations of Einstein equations, such as ADM, BSSN, NOR, and the generalized harmonic formulation.
For IVP, the stability method proposed in [14] is extended from second and fourth order centered schemes, to 2n-order accuracy, including also the case when some first order derivatives are approximated with off-centered finite difference operators (FDO) and dissipation is added to the right-hand sides of the equations.
For the model problem of the wave equation, special attention is paid to the analysis of Courant limits and numerical speeds. Although off-centered FDOs have larger truncation errors than centered FDOs, it is shown that in certain situations, off-centering by just one point can be beneficial for the overall accuracy of the numerical scheme.
The wave equation is also analyzed in respect to its initial boundary value problem. All three types of boundaries - outflow, inflow and completely inflow that can appear in this case, are investigated. Using the ghost-point method, 2n-accurate (n = 1, 4) numerical prescriptions are prescribed for each type of boundary. The inflow boundary is also approached using the SAT-SBP method.
In the end of the thesis, a 1-D variant of BSSN formulation is derived and some of its IBVPs are considered. The boundary procedures, based on the ghost-point method, are intended to preserve the interior 2n-accuracy.
Numerical tests show that this is the case if sufficient dissipation is added to the rhs of the equations. / Diese Doktorarbeit beschäftigt sich mit der Entwicklung numerischer Verfahren für die Diskretisierung des Anfangswertproblems und des Anfangs-Randwertproblems unter Einsatz von finite-Differenzen-Techniken für bestimmte hyperbolischer Systeme erster Ordnung in der Zeit und zweiter Ordnung im Raum. Diese Art von Systemen erscheinen in einigen Formulierungen der Einstein'schen-Feldgleichungen, wie zB. den ADM, BSSN oder NOR Formulierungen, oder der sogenanten verallgemeinerten harmonischen Darstellung.
Im Hinblick auf das Anfangswertproblem untersuche ich zunächst tiefgehend die mathematischen Eigenschaften von finite-Differenzen-Operatoren (FDO) erster und zweiter Ordnung mit 2n-facher Genaugigkeit. Anschließend erweitere ich eine in der Literatur beschriebene Methode zur Stabilitätsanalyse für Systeme mit zentrierten FDOs in zweiter und vierter Genauigkeitsordung auf Systeme mit gemischten zentrierten und nicht zentrierten Ableitungsoperatoren 2n-facher Genauigkeit, eingeschlossen zusätzlicher Dämpfungsterme, wie sie bei numerischen Simulationen der allgemeinen Relativitätstheorie üblich sind.
Bei der Untersuchung der einfachen Wellengleichung als Fallbeispiel wird besonderes Augenmerk auf die Analyse der Courant-Grenzen und numerischen Geschwindigkeiten gelegt. Obwohl unzentrierte, diskrete Ableitungsoperatoren größere Diskretisierungs-Fehler besitzen als zentrierte Ableitungsoperatoren, wird gezeigt, daß man in bestimmten Situationen eine Dezentrierung des numerischen Moleküls von nur einem Punkt bezüglich des zentrierten FDO eine höhere Genauigkeit des numerischen Systems erzielen kann.
Die Wellen-Gleichung in einer Dimension wurde ebenfalls im Hinblick auf das Anfangswertproblem untersucht. In Abhängigkeit des Wertes des sogenannten Shift-Vektors, müssen entweder zwei (vollständig eingehende Welle), eine (eingehende Welle) oder keine Randbedingung (ausgehende Welle) definiert werden. In dieser Arbeit wurden alle drei Fälle mit Hilfe der 'Ghost-point-methode' numerisch simuliert und untersucht, und zwar auf eine Weise, daß alle diese Algorithmen stabil sind und eine 2n-Genauigkeit besitzen. In der 'ghost-point-methode' werden die Evolutionsgleichungen bis zum letzen Punkt im Gitter diskretisiert unter Verwendung von zentrierten FDOs und die zusätzlichen Punkte die am Rand benötigt werden ('Ghost-points') werden unter Benutzung von Randwertbedingungen und Extrapolationen abgeschätzt. Für den Zufluß-Randwert wurde zusätzlich noch eine andere Implementierung entwickelt, welche auf der sogenannten SBP-SAT (Summation by parts-simulatanous approximation term) basiert. In dieser Methode werden die diskreten Ableitungen durch Operatoren angenähert, welche die 'Summation-by-parts' Regeln erfüllen. Die Randwertbedingungen selber werden in zusätzlichen Termen integriert, welche zu den Evolutionsgleichnungen der Punkte nahe des Randes hinzuaddiert werden und zwar auf eine Weise, daß die 'summation-by-parts' Eigenschaften erhalten bleiben.
Am Ende dieser Arbeit wurde noch eine eindimensionale (kugelsymmetrische) Version der BSSN Formulierung abgeleitet und einige physikalisch relevanten Anfangs-Randwertprobleme werden diskutiert. Die Randwert-Algorithmen, welche für diesen Fall ausgearbeitet wurden, basieren auf der 'Ghost-point-Methode' and erfüllen die innere 2n-Genauigkeit solange genügend Reibung in den Gleichungen zugefügt wird.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:Potsdam/oai:kobv.de-opus-ubp:4213 |
| Date | January 2010 |
| Creators | Chirvasa, Mihaela |
| Publisher | Universität Potsdam, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät. Institut für Physik und Astronomie |
| Source Sets | Potsdam University |
| Language | English |
| Detected Language | German |
| Type | Text.Thesis.Doctoral |
| Format | application/pdf |
| Rights | http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/de/ |
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