The Ehrhart function L_P(t) of a polytope P is defined to be the number of integer points in the dilated polytope tP. Classical Ehrhart theory is mainly concerned with integer values of t; in this master thesis, we focus on how the Ehrhart function behaves when the parameter t is allowed to be an arbitrary real number. There are three main results concerning this behavior in this thesis. Some rational polytopes (like the unit cube [0, 1]^d) only gain integer points when the dilation parameter t is an integer, so that computing L_P(t) yields the same integer point count than L_P(t). We call them semi-reflexive polytopes. The first result is a characterization of these polytopes in terms of the hyperplanes that bound them. The second result is related to the Ehrhart theorem. In the classical setting, the Ehrhart theorem states that L_P(t) will be a quasipolynomial whenever P is a rational polytope. This is also known to be true with real dilation parameters; we obtained a new proof of this fact starting from the chraracterization mentioned above. The third result is about how the real Ehrhart function behaves with respect to translation in this new setting. It is known that the classical Ehrhart function is invariant under integer translations. This is far from true for the real Ehrhart function: not only there are infinitely many different functions L_{P + w}(t) (for integer w), but under certain conditions the collection of these functions identifies P uniquely. / A função de Ehrhart L_P(t) de um politopo P é definida como sendo o número de pontos com coordenadas inteiras no politopo dilatado tP. A teoria de Ehrhart clássica lida principalmente com valores inteiros de t; esta dissertação de mestrado foca em como a função de Ehrhart se comporta quando permitimos que o parâmetro t seja um número real arbitrário. São três os resultados principais desta dissertação a respeito deste comportamento. Alguns politopos racionais (como o cubo unitário [0, 1]^d) apenas ganham pontos inteiros quando o parâmetro de dilatação t é um inteiro, de tal forma que computar L_P(t) devolve a mesma contagem de pontos que L_P(t). Eles são chamados de politopos semi-reflexivos. O primeiro resultado desta dissertação é uma caracterização destes politopos em termos de suas descrições como interseção de semi-espaços. O segundo resultado é relacionado ao teorema de Ehrhart. No contexto clássico, o teorema de Ehrhart afirma que L_P(t) será um quasi-polinômio sempre que P for um politopo racional. Sabe-se que este teorema generaliza para parâmetros reais de dilatação; nesta dissertação é apresentada uma nova demonstração deste fato, baseada na caracterização mencionada acima. O terceiro resultado é sobre como a função real de Ehrhart se comporta com respeito à translação neste novo contexto. Sabe-se que a função de Ehrhart clássica é invariante sob translações por vetores com coordenadas inteiras. Por outro lado, a função real de Ehrhart está bem longe de ser invariante: não só existem infinitas funções L_{P + w}(t) distintas, mas também, sob certas condições, esta coleção de funções identifica P unicamente.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:usp.br/oai:teses.usp.br:tde-31052018-093012 |
| Date | 15 February 2018 |
| Creators | Royer, Tiago |
| Contributors | Robins, Sinai |
| Publisher | Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USP |
| Source Sets | Universidade de São Paulo |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | Dissertação de Mestrado |
| Format | application/pdf |
| Rights | Liberar o conteúdo para acesso público. |
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