Depuis l'antiquité jusqu'à aujourd'hui, le domaine de la logique a gagné une importance remarquable et contribue désormais à de nombreuses autres branches, telles que la philosophie, les mathématiques, la fabrication de matériel informatique, la linguistique, l'informatique, l'intelligence artificielle, etc. À chacun de ces scénarios correspondent des besoins spécifiques, qui vont d'exigences très concrètes, telles qu'une méthode d'inférence efficace, à des propriétés théoriques plus abstraites, telles qu'un système d'axiomes élégant. Étant donnée cette grande diversité d'utilisations, une palette hétéroclite de langages formels a été développée. Pendant de nombreuses années, les langages classiques (notamment la logique du premier ordre) étaient la seule alternative concevable, mais cet assortiment d'applications a rendu d'autres types de logiques également désirables dans de nombreuses situations. Imaginez que l'heure de choisir une logique pour une tâche spécifique arrive. Comment choisir la plus appropriée? Quelles propriétés devrions-nous rechercher? Comment "mesurer'' une logique par rapport aux autres? Ce sont des questions difficiles, et il n'existe pas de recette générale à suivre. Dans cette thèse, nous allons simplement restreindre ces questions à une famille particulière de logiques, et dans ce contexte, nous explorerons les aspects théoriques qui aideront à répondre à ces préoccupations. Beaucoup peut être découvert par une analyse attentive des cas les plus intéressants, et notre contribution sera développée selon cette philosophie. Les logiques modales propositionnelles offrent une alternative aux langages traditionnels. Elles peuvent être considérées comme un ensemble d'outils permettant de concevoir des logiques adaptées à des tâches précises, possédant un contrôle fin sur leur expressivité. De plus, il s'est avéré que les logiques modales possèdent un bon comportement computationnel, qui se trouve être robuste y compris malgré l'ajout d'extensions. Ces caractéristiques, parmi d'autres, ont élevé les logiques modales au rang d'alternatives désirables aux langages classiques. Dans ce thèse, nous allons présenter une nouvelle famille de logiques modales appelée logiques mémorielles. Les logiques modales traditionnelles permettent de décrire les structures relationnelles d'un point de vue local. Mais pourquoi ne pas changer cette structure? Nous voulons étudier l'ajout d'une structure de stockage explicite aux logiques modales, une mémoire, qui permet de modéliser un comportement dynamique à travers des opérateurs mémoriels explicites. Ces opérateurs sauvent ou restaurent de l'information vers et à partir de la mémoire. Naturellement, selon le type de structure de sauvegarde désiré et les opérateurs mémoriels disponibles, la logique résultante possèdera différentes propriétés qui valent la peine d'être étudiées. Cette thèse est organisée de la façon suivante. Dans le Chapitre 1, nous commençons par rappeler brièvement comment la logique modale est née, en montrant les différents points de vue historiques la concernant. Puis, nous présentons formellement la logique modale de base et un ensemble d'opérateurs étendus qui aident à capturer le ``goût'' modal de langages plus riches. Nous finissons ce chapitre en donnant un premier aperçu des logiques mémorielles, et montrons comment elles peuvent aider à modéliser l'état quand nous choisissons d'utiliser un ensemble comme une structure de sauvegarde. Le Chapitre 2 est dédié à la présentation détaillée des logiques mémorielles. Nous montrons quelques exemples qui peuvent être décrits en ajoutant un ensemble à des structures relationnelles usuelles, ainsi que les opérateurs ensemblistes usuels permettant l'ajout d'élément et le test d'appartenance. Puis, nous montrons que d'autres opérateurs mémoriels peuvent être envisagés, et nous discutons de la possibilité d'ajouter des contraintes à l'interaction entre la mémoire et les opérateurs modaux. Ces contraintes peuvent être vues comme une manière d'avoir un contrôle fin sur l'expressivité de la logique. Comme nous avons fait des changements aux logiques modales classiques, nous nous intéressons à l'analyse de l'impact de ces changements sur les logiques résultantes. Ainsi, le reste de ce chapitre présente une boite à outils logique basique avec laquelle nous pouvons analyser cette nouvelle famille de logiques. Cette boite à outils peut être vue comme un plan qui organise le reste de cette thèse et qui permet d'analyser les logiques mémorielles en termes d'expressivité, de complexité, d'interpolation et de théorie de la preuve. Le reste des chapitres consiste à étudier en détail chacun de ces aspects. Dans les Chapitres 3 et 4, nous explorons l'expressivité de plusieurs logiques mémorielles et nous étudions la décidabilité de leur problème de satisfiabilité. Dans les cas décidables, nous déterminons leur complexité. Nous analysons l'impact des différents opérateurs mémoriels considérés, et leur interaction. Nous étudions également d'autres conteneurs mémoriels, tels que la pile. Puis, dans le Chapitre 4, nous analysons l'interpolation de Craig et la définabilité de Beth pour certains fragments des logiques mémorielles. Nous étudions également les logiques mémorielles du point de vue de la théorie de la preuve. Dans les Chapitres 6 et 7, nous passons aux axiomatisations à la Hilbert et aux systèmes de tableaux, et nous caractérisons plusieurs fragments de la famille des logiques mémorielles, en utilisant principalement des techniques empruntées aux logiques hybrides. Nous concluons dans le Chapitre 8 avec quelques remarques, des problèmes ouverts et des directions pour de futures recherches. / From ancient times to the present day, the field of logic has gained significant strength and now it actively contributes to many different areas, such as philos- ophy, mathematics, linguistic, computer science, artificial intelligence, hardware manufacture, etc. Each of these scenarios has specific needs, that range from very concrete requirements, like an efficient inference method, to more abstract theoretical properties, like a neat axiomatic system. Given this wide diversity of uses, a motley collection of formal languages has been developed. For many years, classical languages (mainly classical first order logic) were the alternative, but this assortment of applications made other types of logics also attractive in many situations. Imagine that the time for choosing a logic for some specific task arrives. How can we decide which is the one that fits best? Which properties should we look for? How can we “measure” a logic with respect to others? These are not easy questions, and there is not a general recipe one can follow. In this thesis we are just going to restrict these questions to a particular family of logics, and in that context we will investigate theoretical aspects that help to answer some of these concerns. Much can be discovered by carefully analyzing appealing cases, and our contribution will be developed having that philosophy in mind. Propositional modal logics offer an alternative to traditional languages. They can be regarded as a set of tools that allow to design logics specially tailored for specific tasks, having a fine-grained control on their expressivity. Additionally, modal logics turned out to have a good computational behavior, which proved to be quite robust under extensions. These characteristics, among others, placed modal logics as an attractive alternative to classical languages. In this dissertation we are going to present a new family of modal logics called memory logics. Traditional modal logics enables to describe relational structures from a local perspective. But what about changing the structure? We want to explore the addition of an explicit storage structure to modal logics, a mem- ory, that allows to model dynamic behavior through explicit memory operators. These operators store or retrieve information to and from the memory. Natu- rally, depending on which type of storage structure we want, and which memory operators are available, the resulting logic will enjoy different properties that are worth investigating. The thesis is organized as follows. In Chapter 1 we start by giving a brief recap of how modal logic was born, showing the different historical perspectives used to look at modal logic. Then we formally present the basic modal logic and a set of extended operators that helps grasp the modal “flavor” of some richer languages. We finish this chapter by giving a first glance of memory logics, and showing how they can help to model state when we choose to use a set as storage structure. Chapter 2 is devoted to present memory logics in detail. We show some examples that can be described by adding a set to standard relational structures, and the usual set operators to add elements and test membership. We then show some other memory operators that can be considered, and we discuss the possibility of adding constraints to the interplay between memory and modal operators. These constraints can be regarded as a way to have a finer-grained control on the logic expressivity. Since we have made changes to classical modal logics, we are interested in analyzing the impact those changes cause in the resulting logics. Therefore, the rest of this chapter presents a basic logic toolkit through which we can analyze this new family of logics. This toolkit can be seen as an outline that organizes the rest of the thesis and that allows to analyze memory logics in terms of expressivity, complexity, interpolation and proof theory. The rest of the chapters investigate each of these aspects in detail. In Chap- ters 3 and 4 we explore the expressive power of several memory logics and we study the decidability of their satisfiability problem. In the decidable cases, we determine their computational complexity. We analyze the impact of the differ- ent memory operators we consider, and how they interact. We also study other memory containers, such as a stack. Then, in Chapter 5, we analyze Craig inter- polation and Beth definability for some memory logic fragments. We also study memory logics from a proof theoretical perspective. In Chapter 6 and 7 we turn to Hilbert style axiomatizations and tableau systems, and we characterize several fragments of the memory logic family mostly using techniques borrowed from hy- brid logics. We close in Chapter 8 with some concluding remarks, open problems and directions for further research.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:theses.fr/2009NAN10130 |
| Date | 09 December 2009 |
| Creators | Mera, Sergio Fernando |
| Contributors | Nancy 1, Blackburn, Patrick, Becher, Verónica |
| Source Sets | Dépôt national des thèses électroniques françaises |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
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