Thèse ou mémoire avec insertion d'articles / Ce mémoire a pour but d'introduire le lecteur aux divers outils qui facilitent l'étude des formes modulaires et des valeurs spéciales de leur fonction L associée. Le premier chapitre de cet écrit rassemble plusieurs notions de base sur les formes modulaires et leur fonction L. C'est dans le second chapitre que seront introduits trois outils incontournables qui permettent d'étudier les valeurs spéciales des fonctions L. Le premier de ces outils est les symboles modulaires. Ces intégrales complexes récupèrent certaines des valeurs spéciales convoitées et ont l'avantage d'être calculables numériquement. Un second outil présenté dans ce chapitre est les éléments de Mazur-Tate p-adiques. On propose au lecteur d'explorer quelques-unes de leurs propriétés fondamentales en suivant les expositions de [MT87], de [PW11] et de [MTT86]. Puis, on emploiera les méthodes issues de l'interpolation p-adique pour étudier ces valeurs spéciales à l'aide de la fonction L p-adique. On propose au lecteur d'étudier trois constructions équivalentes de cet objet afin d'en obtenir une meilleure compréhension. Le troisième chapitre de ce mémoire est un article de recherche qui présente de nombreux calculs explicites qui peuvent être réalisés avec les symboles modulaires et les éléments de Mazur-Tate. L'emphase est mise sur les invariants d'Iwasawa p-adiques associés à la fonction t de Ramanujan. Le quatrième chapitre généralise les concepts abordés dans les chapitres précédents aux formes modulaires de Bianchi. Ce chapitre s'adresse davantage aux lecteurs et aux lectrices qui maîtrisent bien les bases de la théorie des formes modulaires classiques et qui désirent être introduits et introduites à une généralisation de cette théorie. Le chapitre final de ce mémoire se veut être un appendice qui rassemble quelques résultats élémentaires à propos des nombres p-adiques et des fractions continues. Ces résultats sont placés à la fin du mémoire simplement pour en améliorer la lisibilité. / The main goal of this Master's thesis is to introduce to the reader to some of the tools involved in the study of modular forms and special values of their L functions. The first chapter of this document gathers many basic notions on modular forms and L functions. In the second chapter, we introduce three main tools for studying special values of L functions. The first of these tools is modular symbols. These complex integrals recover some of the interesting special L-values. Moreover, they are numerically computable. A second tool introduced in this chapter is p-adic Mazur-Tate elements. We propose the reader to study some of their fundamental properties by following the expositions of [MT87], [PW11] and [MTT86]. At the end of this chapter, we use the techniques of p-adic interpolation to study these special values using the p-adic L function. We will describe three equivalent constructions of this object to help the reader get a better understanding. The third chapter of this Master's thesis is a research article containing many explicit computations using modular symbols and Mazur-Tate elements. We put the emphasis on p-adic Iwasawa invariants associated to Ramanujan's t function. The fourth chapter generalises the concepts discussed in previous chapters to Bianchi modular forms. This chapter assumes a more thorough understanding of the basics of the theory of modular forms and introduces the reader to a vast generalization of this theory. The final chapter is an appendix gathering some important elementary results on p-adic numbers and continued fractions. These results are placed at the end of this thesis simply to improve readability.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LAVAL/oai:corpus.ulaval.ca:20.500.11794/103127 |
| Date | 13 December 2023 |
| Creators | Doyon, Anthony |
| Contributors | Lei, Antonio |
| Source Sets | Université Laval |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | COAR1_1::Texte::Thèse::Mémoire de maîtrise |
| Format | 1 ressource en ligne (viii, 101 pages), application/pdf |
| Rights | http://purl.org/coar/access_right/c_abf2 |
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