Dans cette thèse on étudie la régularité de problèmes elliptiques (Laplace, Helmholtz) ou paraboliques (équation de la chaleur) avec donnée mesure dans divers cadres géométriques. Ainsi, on considère pour les seconds membres des masses de Dirac en un point, sur une ligne infinie, semi-infinie ou finie, et également sur une courbe régulière. Les solutions de ces problèmes étant singulières sur la fracture (modélisée par la masse de Dirac dans le second membre), on étudie la régularité dans des espaces de Sobolev avec poids. Dans le cas d'une fracture droite, on utilise une technique classique qui consiste à appliquer une transformée de Fourier ou de Mellin à l'équation de Laplace. Ceci nous amène à étudier l'équation de Helmholtz en 2D. Pour ce dernier, on montre des estimations uniformes qui permettent ensuite de prendre la transformée inverse et d'obtenir le résultat de régularité attendu. De même, la transformée de Laplace transforme l'équation de la chaleur dans la même équation de Helmholtz en 2D. Dans le cas d'une fracture courbe régulière, grâce aux résultats de [D'angelo:2012], en utilisant un argument de localisation et un recouvrement dyadique, on obtient une régularité améliorée de la solution toujours dans les espaces de Sobolev avec poids. / In this thesis, we study the regularity of elliptic problems (Laplace, Helmholtz) or parabolic problems (heat equation) with measure data in different geometric frames. Thus, we consider for the second members, Dirac masses at a point, on a line, on a half-line, or on a bounded segment, and also on a regular curve. As the solutions of these problems are singular on the fracture (modeled by Dirac mass in the second member), we study their regularity in weighted Sobolev spaces. In the case of a straight fracture, using Fourier or Mellin technique reduces the problem in dimension three to a Helmholtz problem in dimension two. For the latter, we prove uniform estimates, which are then used to apply the inverse transform and to obtain the expected regularity result. Similarly, the Laplace transformation transforms the heat equation into the same Helmholtz equation in 2D. In the case of a smooth curve fracture, thanks to the results of [D'angelo:2012], using a localization argument and a dyadic recovery we get an improved smoothness of the solution always in weighted Sobolev spaces.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:theses.fr/2015VALE0015 |
| Date | 25 June 2015 |
| Creators | Ariche, Sadjiya |
| Contributors | Valenciennes, Nicaise, Serge, De Coster, Colette |
| Source Sets | Dépôt national des thèses électroniques françaises |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
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