Neste trabalho introduzimos uma nova classe de álgebra de conglomerado com coeficientes do tipo Dynkin A_n, a qual denominaremos álgebra c-conglomerada. Desenvolvemos a teoria dos c-frisos, a qual foi introduzida por Matte, Desloges e Sanchez, para o estudo das propriedades combinatórias da álgebra c-conglomerada. Usando c-frisos, obtemos uma fórmula explícita para as variáveis de conglomerado de uma álgebra c-conglomerada que explica simultaneamente o fenômeno de Laurent e a positividade. Interpretamos geometricamente a álgebra c-conglomerada em termos de triangulações de polígonos, em que triangulações correspondem aos conglomerados e diagonais correspondem às variáveis de conglomerado de uma álgebra c-conglomerada. Além disso, generalizamos a aplicação de Caldero-Chapoton e utilizamos esta versão mais geral para obter as variáveis de conglomerado de uma álgebra c-conglomerada em função dos objetos indecomponíveis da categoria de conglomerado do tipo A_n. / In this work we introduce a new class of cluster algebra with coefficients of Dynkin type A_n, which we call c-cluster algebra. In order to study the combinatorics of the c-cluster algebra, we develop the theory of c-friezes introduced by Matte, Desloges and Sanchez. Using c-friezes, we give an explicit formula for all cluster variables of a c-cluster algebra, which explains simultaneously the Laurent phenomenon and the positivity. A c-cluster algebra also has a geometric interpretation in terms of triangulations of a polygon, where clusters are in one-to-one correspondence with triangulations and the cluster variables are in one-to-one correspondence with diagonals. Finally, we give a generalization of the Caldero-Chapoton map which we use to obtain the cluster variables of a c-cluster algebra in terms of the indecomposable objects of the cluster category of type A_n.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:usp.br/oai:teses.usp.br:tde-28042019-005219 |
| Date | 27 November 2014 |
| Creators | Borges, Fernando Araujo |
| Contributors | Marcos, Eduardo do Nascimento |
| Publisher | Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USP |
| Source Sets | Universidade de São Paulo |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | Portuguese |
| Type | Tese de Doutorado |
| Format | application/pdf |
| Rights | Liberar o conteúdo para acesso público. |
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