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Previous issue date: 2011-02-22 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / We define a dynamic system as follows
dx = f(x) + g(x, t, ε), x ∈ Rn (1)
____
dt
where f : Rn → Rn e g : Rn x R x RN → Rn Rn are C2, g is periodic in t, such that the system x˙ = f(x) (2) has a hyperbolic saddle point and a homoclinic orbit associated to this point, (1) is called perturbed homoclinic system (PHS).
What happens with the system (2) after a disturbance, ie, when we in (1) ε assume positive values? In this work we analyze some methods in order to answer this question. We study the classical method of Melnikov for systems when n = 2 and g is periodic in t, a method to eliminate the requirement that g is periodic in t and also a generalization of the classical method of Melnikov to higher dimensions, the method of Melnikov-Gruendler. For each case we present applications. / Um sistema dinâmico
dx = f(x) + g(x, t, ε), x ∈ Rn (1)
____
dt
onde f : Rn → Rn e g : Rn x R x RN → Rn são de classe C2, g é periódica em t, tal
que o sistema x˙ = f(x) (2) tem um ponto de equilíbrio do tipo sela e uma órbita
homoclínica associada a este ponto, (1) é chamado sistema homoclínico perturbado.
O que acontece com o sistema (2) após uma perturbação, ou seja, quando fazemos em (1) ε assumir valores positivos? Nesse trabalho analisamos ferramentas analíticas
para começar a responder a esta pergunta, como o método clássico de Melnikov,
para sistemas quando n = 2 e g é periódica em t. Usando um tipo especial de
funções, provamos que o método de Melnikov fornece um critério para mostrar que
para um intervalo de tempo finito [−T, T], com T arbitrariamente grande, o sistema
perturbado é igual a um sistema caótico para uma classe mais geral de "funções
perturbadoras". Por fim, apresentamos uma generalização deste método clássico
para dimensões maiores, o método de Melnikov-Gruendler. Daremos ainda duas
aplicações, uma exemplificando que para um intervalo de tempo finito o sistema
perturbado é igual a um caótico e o outro relativo ao método de Melnikov-Gruendler.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:localhost:123456789/4906 |
| Date | 22 February 2011 |
| Creators | Silva, Lucas Carvalho |
| Contributors | Pedroso, Kennedy Martins, Romero, Sandro Vieira, Rosa, Valéria Mattos da, Mello, Luis Fernando de Osório, Casagrande, Rogério |
| Publisher | Universidade Federal de Viçosa, Mestrado em Matemática, UFV, BR, Álgebra; Análise; Geometria e Topologia; Matemática Aplicada |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | Portuguese |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Format | application/pdf |
| Source | reponame:Repositório Institucional da UFV, instname:Universidade Federal de Viçosa, instacron:UFV |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
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