A la literatura recent hi podem trobar la introducció de noves famílies de codis de Reed-
Muller quaternaris lineals RMs. Les imatges d’aquests nous codis a través del mapa de
Gray són codis binaris Z4-lineals que comparteixen els paràmetres i les propietats (longitud, dimensió, distància mínima, inclusió, i relació de dualitat) amb la família de codis de Reed-
Muller binaris lineals. El kernel d’un codi binari C es defineix com K(C) = {x 2 Zn2
:
C + x = C}. La dimensió del kernel és un invariant estructural per els codis binaris
equivalents. Part d’aquesta tesi consisteix en establir els valors de la dimensió del kernel
per aquestes noves famílies de codis de Reed-Muller Z4-lineals. Tot i que dos codis Z4-
lineals no equivalents poden compartir el mateix valor de la dimensió del kernel, en el cas
dels codis de Reed-Muller RMs aquest resultat es suficient per donar-ne una classificació
completa.
Per altra banda, un codi quaternari lineal de Hadamard C, és un codi que un cop li
hem aplicat el mapa de Gray obtenim un codi binari de Hadamard. És conegut que els
codis de Hadamard quaternaris formen part de les famílies de codis quaternaris de Reed-
MullerRMs. Definim el grup de permutacions d’un codi quaternari lineal com PAut(C) =
{ 2 Sn : (C) = C}. Com a resultat d’aquesta tesi també s’estableix l’ordre dels grups de
permutacions de les famílies de codis de Hadamard quaternaris. A més a més, aquests grups
són caracteritzats proporcionant la forma dels seus generadors i la forma de les òrbites del
grup PAut(C) actuant sobre el codi C. Sabem que el codi dual, en el sentit quaternari, d’un
codi de Hadamard és un codi 1-perfecte estès. D’aquesta manera els resultats obtinguts
sobre el grup de permutacions es poden transportar a una família de codis quaternaris 1-
perfectes estesos / Recently, new families of quaternary linear Reed-Muller codes RMs have been introduced.
They satisfy that, under the Gray map, the corresponding Z4-linear codes have the
same parameters and properties (length, dimension, minimum distance, inclusion, and duality
relation) as the codes of the binary linear Reed-Muller family. The kernel of a binary
code C is K(C) = {x 2 Zn2
: C + x = C}. The dimension of the kernel is a structural
invariant for equivalent binary codes. In this work, the dimension of the kernel for these
new families of Z4-linear Reed-Muller codes is established. This result is sufficient to give
a full classification of these new families of Z4-linear Reed-Muller codes up to equivalence.
A quaternary linear Hadamard code C is a code over Z4 that under the Gray map,
the corresponding Z4-linear code is a binary Hadamard code. It is well known that quaternary
linear Hadamard codes are included in the RMs families of codes. The permutation
automorphism group of a quaternary linear code C of length n is defined as
PAut(C) = { 2 Sn : (C) = C}. In this dissertation, the order of the permutation automorphism
group of all quaternary linear Hadamard codes is established. Moreover, these
groups are completely characterized by providing their generators and also by computing
the orbits of their action on C. Since the dual of a Hadamard code is an extended 1-perfect
code in the quaternary sense, the permutation automorphism group of the quaternary linear
extended 1-perfect codes is also established.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:TDX_UAB/oai:www.tdx.cat:10803/96434 |
| Date | 06 June 2012 |
| Creators | Pernas Vallès, Jaume |
| Contributors | Villanueva, M. (Mercè), Pujol Capdevila, Jaume, Universitat Autònoma de Barcelona. Departament d'Enginyeria de la Informació i de les Comunicacions |
| Publisher | Universitat Autònoma de Barcelona |
| Source Sets | Universitat Autònoma de Barcelona |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/doctoralThesis, info:eu-repo/semantics/publishedVersion |
| Format | 120 p., application/pdf |
| Source | TDX (Tesis Doctorals en Xarxa) |
| Rights | ADVERTIMENT. L'accés als continguts d'aquesta tesi doctoral i la seva utilització ha de respectar els drets de la persona autora. Pot ser utilitzada per a consulta o estudi personal, així com en activitats o materials d'investigació i docència en els termes establerts a l'art. 32 del Text Refós de la Llei de Propietat Intel·lectual (RDL 1/1996). Per altres utilitzacions es requereix l'autorització prèvia i expressa de la persona autora. En qualsevol cas, en la utilització dels seus continguts caldrà indicar de forma clara el nom i cognoms de la persona autora i el títol de la tesi doctoral. No s'autoritza la seva reproducció o altres formes d'explotació efectuades amb finalitats de lucre ni la seva comunicació pública des d'un lloc aliè al servei TDX. Tampoc s'autoritza la presentació del seu contingut en una finestra o marc aliè a TDX (framing). Aquesta reserva de drets afecta tant als continguts de la tesi com als seus resums i índexs., info:eu-repo/semantics/openAccess |
Page generated in 0.117 seconds