Return to search

Kreivės virš skaičių kūnų ir jų sveikųjų skaičių žiedų / Curves over number fields and their rings of integers

Disertaciją sudaro darbai, autoriaus atlikti 2006-2013 metais. Šiuos darbus jungianti tema yra algebrinių kreivių, apibrėžtų virš racionaliųjų skaičių, šeimos, einančios per taškus, kurių koordinatės priklauso duotam skaičių kūnui ar jo sveikųjų skaičių žiedui. Pirmoje disertacijos dalyje yra gaunama vidutinio mažo aukščio racionaliųjų taškų kiekio ant fiksuoto žanro hiperelipsinių kreivių asimptotika. Antroje dalyje šis rezultatas išplečiamas, apibūdinant vidutinį homogeninių daugianarių reikšmių taškuose, kurių koordinatės yra mažo aukščio tarpusavyje pirminiai skaičiai, sutampančių su duoto vieno kintamojo daugianario reikšmėmis sveikuosiuose taškuose, skaičių. Trečioje dalyje sukonstruojamos nedidelės kreivių, apibrėžtų virš racionaliųjų skaičių ir išvengiančių taškų, kurių koordinatės priklauso duotam skaičių kūnui, šeimos. Ketvirtoje dalyje nagrinėjamos kongruenčių skaičių kreivės. Įrodoma, kad bent pusė pirminių skaičių p, kurie lieka inertiški cikliniame skaičių kūne K, atitinka kreives 16p^2 = x^4 - y^2, neturinčias netrivialių taškų su koordinatėmis to kūno sveikųjų skaičių žiede. Paskutinėje dalyje iliustruojamas Gauso sveikųjų skaičių skaidymosi daugikliais vienatinumo taikymas įrodant, kad konkreti hiperelipsinė kreivė neturi taškų su sveikosiomis koordinatėmis. / In this document, the author collected his work that ranges through the years 2006-2013. The common theme that occurs in its five separate parts is that of families of algebraic curves defined over the rational numbers with points over a number field or over its ring of integers. In the first part, average number of rational points of small height on hyperelliptic curves of fixed genus is described. In the second part, this result is extended to describing how often, on average, values of homogeneous polynomials at pairs of small coprime integers are values of a given univariate polynomial with integer coefficients. Further, small families of curves that are defined over the rational numbers and do not have points over a given number field are constructed. In the subsequent part, congruent number curves are investigated. It is shown that, given a cyclic number field K, at least half of the prime numbers p that remain inert in K correspond to curves 16p^2 = x^4 - y^2 that do not have nontrivial points over the ring of integers of K. In the last part, a short exposition to a classical technique of showing that a particular curve does not have integral points is given.

Identiferoai:union.ndltd.org:LABT_ETD/oai:elaba.lt:LT-eLABa-0001:E.02~2013~D_20131029_102522-14776
Date29 October 2013
CreatorsZinevičius, Albertas
ContributorsLAURINČIKAS, ANTANAS, KAČINSKAITĖ, ROMA, KRYLOVAS, ALEKSANDRAS, MANSTAVIČIUS, EUGENIJUS, ŠIAUČIŪNAS, DARIUS, GARUNKŠTIS, RAMŪNAS, MACAITIENĖ, RENATA, Vilnius University
PublisherLithuanian Academic Libraries Network (LABT), Vilnius University
Source SetsLithuanian ETD submission system
LanguageLithuanian
Detected LanguageUnknown
TypeDoctoral thesis
Formatapplication/pdf
Sourcehttp://vddb.library.lt/obj/LT-eLABa-0001:E.02~2013~D_20131029_102522-14776
RightsUnrestricted

Page generated in 0.0029 seconds