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Previous issue date: 2013-09-20 / Coordena??o de Aperfei?oamento de Pessoal de N?vel Superior / In general, an inverse problem corresponds to find a value of an element x in a suitable
vector space, given a vector y measuring it, in some sense. When we discretize the
problem, it usually boils down to solve an equation system f(x) = y, where f : U
Rm ! Rn represents the step function in any domain U of the appropriate Rm. As a
general rule, we arrive to an ill-posed problem. The resolution of inverse problems has
been widely researched along the last decades, because many problems in science and
industry consist in determining unknowns that we try to know, by observing its effects
under certain indirect measures.
Our general subject of this dissertation is the choice of Tykhonov?s regulaziration
parameter of a poorly conditioned linear problem, as we are going to discuss on chapter
1 of this dissertation, focusing on the three most popular methods in nowadays literature
of the area. Our more specific focus in this dissertation consists in the simulations
reported on chapter 2, aiming to compare the performance of the three methods in the
recuperation of images measured with the Radon transform, perturbed by the addition
of gaussian i.i.d. noise. We choosed a difference operator as regularizer of the problem.
The contribution we try to make, in this dissertation, mainly consists on the discussion
of numerical simulations we execute, as is exposed in Chapter 2. We understand
that the meaning of this dissertation lays much more on the questions which it raises
than on saying something definitive about the subject. Partly, for beeing based on
numerical experiments with no new mathematical results associated to it, partly for
being about numerical experiments made with a single operator. On the other hand,
we got some observations which seemed to us interesting on the simulations performed,
considered the literature of the area. In special, we highlight observations we resume,
at the conclusion of this work, about the different vocations of methods like GCV and
L-curve and, also, about the optimal parameters tendency observed in the L-curve
method of grouping themselves in a small gap, strongly correlated with the behavior
of the generalized singular value decomposition curve of the involved operators, under
reasonably broad regularity conditions in the images to be recovered / Problemas inversos, usualmente recaem em resolver alguma equa??o do tipo f(x) = b, onde cada equa??o fi(x) = bi pode ser pensada como uma medida de um dado x a ser recuperado. Usualmente s?o mal postos, no sentido de corresponderem a equa??es que podem n?o ter solu??o exata, podem ainda ter muitas solu??es, ou ainda, o que ? o mais comum, ter solu??es muito inst?veis a ru?dos na obten??o de b. H? v?rias formas de regularizar a obten??o de solu??es de tais problemas e a mais popular seria a de Tykhonov, que corresponde a:
Minimizar ||f(x) b||2 + l ||L(x x0) ||2 (I)
A regulariza??o pretendida corresponde a se escolher o operador l, de tal forma que o problema I tenha solu??es est?veis com perturba??es em b e que aproximem solu??es do problema de m?nimos quadrados usual, no caso de se fazer l 0. O primeiro termo de (I) representa o ajuste aos dados e o segundo termo penaliza a solu??o de forma a regularizar o problema e produzir uma solu??o est?vel a ru?dos. Se l = 0, isto significa que estamos procurando uma solu??o de quadrados m?nimos para o problema, o que usualmente ? insuficiente para problemas mal postos. O termo de regulariza??o adicionado introduz um vi?s na solu??o ao penalizar o ajuste com um termo adicional. Se L for a identidade, por exemplo, isto significa que estamos apostando que a solu??o estaria relativamente pr?xima de x0. Se L for o operador gradiente, estamos apostando que a solu??o x ? razoavelmente suave. Nas aplica??es, L usualmente ? escolhido como um operador adaptado ao problema estudado e de forma se valer de informa??es a priori dispon?veis sobre as solu??es procuradas.
A escolha do par?metro l > 0 ? crucial neste m?todos, pelo fato que se l ? excessivo, isto tende a enfraquecer excessivamente o ajuste aos dados, induzindo um ajuste da solu??o ? x0. Se l for pequeno demais a regulariza??o pretendida acaba n?o acontecendo e a solu??o do problema (I) usualmente acaba ficando muito inst?vel e contaminada por ru?dos. H? v?rias t?cnicas dispon?veis na literatura para tal escolha, sobretudo se f ? uma fun??o linear f(x) = Ax. O objetivo da disserta??o ? o de estudar algumas destas t?cnicas de ajuste do par?metro l no caso de operadores discretizados, vale dizer, x no Rn. Em especial, destacamos os m?todos de ajuste do par?metro l reconhecidos na literatura como L-curve, GCV e m?todo da discrep?ncia, e objetiva-se comparar estes m?todos em testes feitos com a transformada de Radon e tendo como regularizador um operador de derivada de primeira ordem. Os resultados dos testes realizados revelam pontos interessantes na rela??o entre os diferentes estimadores para o par?metro de regulariza??o e que sugerem um aprofundamento te?rico al?m do escopo desta disserta??o
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:repositorio.ufrn.br:123456789/18649 |
| Date | 20 September 2013 |
| Creators | Pereira, Ivanildo Freire |
| Contributors | CPF:23810270768, http://lattes.cnpq.br/2481613790501364, Pereira, Edgar Silva, CPF:31502482053, http://lattes.cnpq.br/0470193971644313, Medeiros, Walter Eug?nio de, CPF:19980701404, http://lattes.cnpq.br/2170299963939072, Santos, Reginaldo de Jesus, CPF:21881006549, http://lattes.cnpq.br/0091887793629876, Bielschowsky, Roberto Hugo |
| Publisher | Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Programa de P?s-Gradua??o em Matem?tica Aplicada e Estat?stica, UFRN, BR, Probabilidade e Estat?stica; Modelagem Matem?tica |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Format | application/pdf |
| Source | reponame:Repositório Institucional da UFRN, instname:Universidade Federal do Rio Grande do Norte, instacron:UFRN |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
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