A discrete analogue of the Witten Laplacian on the n-dimensional integer
lattice is considered. After rescaling of the operator and the lattice size we
analyze the tunnel effect between different wells, providing sharp asymptotics
of the low-lying spectrum. Our proof, inspired by work of B. Helffer,
M. Klein and F. Nier in continuous setting, is based on the construction of
a discrete Witten complex and a semiclassical analysis of the corresponding
discrete Witten Laplacian on 1-forms. The result can be reformulated in
terms of metastable Markov processes on the lattice. / In dieser Arbeit wird auf dem n-dimensionalen Gitter der ganzen Zahlen ein Analogon des Witten-Laplace-Operatoren eingeführt. Nach geeigneter Skalierung des Gitters und des Operatoren analysieren wir den Tunneleffekt zwischen verschiedenen Potentialtöpfen und erhalten vollständige Aymptotiken für das tiefliegende Spektrum. Der Beweis (nach Methoden, die von B. Helffer, M. Klein und F. Nier im Falle des kontinuierlichen Witten-Laplace-Operatoren entwickelt wurden) basiert auf der Konstruktion eines diskreten Witten-Komplexes und der Analyse des zugehörigen Witten-Laplace-Operatoren auf 1-Formen. Das Resultat
kann im Kontext von metastabilen Markov Prozessen auf dem Gitter reformuliert werden und ermöglicht scharfe Aussagen über metastabile Austrittszeiten.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:Potsdam/oai:kobv.de-opus-ubp:6528 |
| Date | January 2012 |
| Creators | Di Gesù, Giacomo |
| Publisher | Universität Potsdam, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät. Institut für Mathematik |
| Source Sets | Potsdam University |
| Language | English |
| Detected Language | German |
| Type | Text.Thesis.Doctoral |
| Format | application/pdf |
| Rights | http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/de/ |
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