In this project we have used the theory of analytical mechanics to derive equations of motion for complex mechanical systems in order to study their behaviour over time. Even if the theory provides powerful tools to tackle tough problems which would be very hard to solve by methods of Newtonian mechanics, you are still relatively limited without running any computer simulations. One realises that in a faster rate it will be an incredibly difficult task to find an analytical solution when the degrees of freedom increases. Even if one would succeed to derive the equations, one still has to solve them to get the information of the systems behavior. Of experience one knows that the equations in general are nonlinear and hence must be integrated numericaly. These nonlinearities preposses the sensible dependence on initial conditions which means that small perturbations from equilibrium will lead to divergent outcomes in the continuing evolution of the motion. The motion is then what you call chaotic. Since we have been dealing with nonlinear problems, numerical and symbolical analysis has been performed with the computer aid. Hence, a big part of this project has been to get familiar with the Maple based simulation program ’Sophia’, developed by the department of mechanics at KTH [7]. With this program we could simulate different kinds of pendulum systems and by plotting their solutions, investigate the influence on the overall motion by the parameter values and initial conditions. / I det här projektet har vi studerat komplexa mekaniska system där vi genom teori från den analytiska meknaiken, härlett rörelseekvationer som vi sedan har löst symboliskt. Trots att den analytiska mekaniken erbjuder kraftfulla verktyg för att bemöta svåra problem som man med Newtonsk mekanik skulle få stora svårigheter att lösa, är man ändå relativt begränsad utan datorn till hjälp. Man inser i allt snabbare takt att det blir en övermäktig uppgift att finna en analytisk lösning när antalet frihetsgrader för systemet ökar. Även om man skulle lyckas med att härleda rörelseekvationerna, vilket ofta är en krävande uppgift i sig, är allt arbete förgäves om man inte lyckas lösa dom. Av erfarenhet vet man att differentialekvationerna i allmänhet blir ickelinjära och måste därför integreras numeriskt om man inte nöjer sig med att inskränka sig till små rörelser [7]. I sådana fall kan dom ickelinjära termerna linjäriseras genom taylorserieutvecklingar och man blir då kvar med linjära ekvationer som är lösbara analytiskt. Dessa olinjäriteter påverkar systemets känslighet för initialvillkor vilket innebär att små avvikelser i begynnelsevärdena ofta leder till stora förändringar i systemets fortsatta rörelseevolution. Rörelsen blir alltså lätt vad man kallar kaotisk. Då vi har intresserat oss av systemens allmänna rörelser och inte enbart små rörelser, har symboliska och numeriska beräkningar varit gryndläggande för analysen. Stora delar av detta projekt har därför varit att bekanta oss med det Maplebaserade simuleringsprogrammet ’Sophia’, uppkallat till ära efter Sveriges första kvinnliga professor och matematiker, Sofia Kovalevskaja [7]. Med detta program kunde vi simulera olika typer av pendelrörelser och genom att rita upp grafer och animeringar, undersöka parameter-och begynnelsevärdenas inflytande på den fortsatta rörelsen.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:UPSALLA1/oai:DiVA.org:kth-166863 |
| Date | January 2015 |
| Creators | Emil Génetay, Johansen, Andersson, Aaron |
| Publisher | KTH, Mekanik |
| Source Sets | DiVA Archive at Upsalla University |
| Language | Swedish |
| Detected Language | Swedish |
| Type | Student thesis, info:eu-repo/semantics/bachelorThesis, text |
| Format | application/pdf |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
Page generated in 0.0016 seconds