The bifurcation diagram of a model stochastic differential equation with delayed feedback is presented. We are motivated by recent research on stochastic effects in models of transcriptional gene regulation. We start from the normal form for a pitchfork bifurcation, and add multiplicative or parametric noise and linear delayed feedback. The latter is sufficient to originate a Hopf bifurcation in that region of parameters in which there is a sufficiently strong negative feedback. We find a sharp bifurcation in parameter space, and define the threshold as the point in which the stationary distribution function p(x) changes from a delta function at the trivial state x=0 to p(x) ~ x^α at small x (with α = −1 exactly at threshold). We find that the bifurcation threshold is shifted by fluctuations relative to the deterministic limit by an amount that scales linearly with the noise intensity. Analytical expressions for pitchfork and Hopf bifurcation thresholds are given for the model considered. Our results assume that the delay time $\tau$ is small compared to other characteristic time scales, not a significant limitation close to the bifurcation line. A pitchfork bifurcation line is found, the location of which depends on the conditional average < x(t)|x (t-τ) >, where x(t) is the dynamical variable. This conditional probability incorporates the combined effect of fluctuation correlations and delayed feedback. We also find a Hopf bifurcation line which is obtained by a multiple scale expansion around the oscillatory solution near threshold. We solve the Fokker-Planck equation associated with the slowly varying amplitudes and use it to determine the threshold location. In both cases, the predicted bifurcation lines are in excellent agreement with a direct numerical integration of the governing equations. Contrary to the known case involving no delayed feedback, we show that the stochastic bifurcation lines are shifted relative to the deterministic limit and hence that the interaction between fluctuation correlations and delay affect the stability of the solutions of the model equation studied. Moreover, we obtain the characteristic correlation time associated to the model. In particular, the validity of the common assumption of statistical independence between the state at time t and that at t-τ is examined. We find that the correlation time diverges at the model's bifurcation line, thus signalling the failure of statistical independence near threshold. We determine the correlation time both by numerical integration of the governing equation, and analytically in the limit of small τ. The correlation time T diverges as T ~ a^-1, where a is the control parameter so that a_{c}=0 is the bifurcation threshold. The small-τ expansion correctly predicts the location of the bifurcation threshold, but there are systematic deviations in the magnitude of the correlation time. / Le diagramme de bifurcation d'une équation différentielle stochastique incluant une échelle de temps retardée est présenté. Nous sommes motivés par des recherches récentes portant sur des modèles de régulation des gènes. Nous débutons avec la forme normale d'une bifurcation de type fourchette auquelle est ajoutée un terme stochastique de manière paramétrique ainsi qu'un terme linéaire incluant le délai. Ce dernier terme introduit une bifurcation de type Hopf où le délai négatif est particulièrement fort dans l'espace des paramètres. Une bifurcation abrupte est trouvée et nous définissons le seuil de bifurcation comme étant le point dans l'espace des paramètres pour lequel la fonction de distribution stationnaire p(x) change d'une fonction delta autour de l'origine à p(x) ~ x^α pour x petit (avec α = -1 exactement au seuil). Nous démontrons que le seuil de bifurcation est modifié par les fluctuations comparé à la limite déterministique par une valeur qui suit une relation linéraire avec l'intensité du bruit. Des expressions analytiques pour les seuils de bifurcation de type fourchette et Hopf du modèle considéré sont présentées. Nos résultats assument que le temps retardé τ est petit comparé aux autres temps charactéristiques du système, une limitation qui n'est pas significative près de la ligne de bifurcation. L'expression pour la bifurcation de type fourchette est déterminée suite à une expansion stochastique de Taylor. La location de cette bifurcation dépend de la moyenne conditionnelle < x(t)|x (t-τ) >, où x(t) est la variable dynamique. Cette probabilité conditionnelle comprend les effets combinés des fluctuations corrélées et du retardement rétroactif. Nous déterminons aussi une expression pour la bifurcation de type Hopf obtenue à l'aide d'une expansion des échelles de temps autour de la solution près du seuil. Nous obtenons une équation de Fokker-Planck associée à la dynamique des amplitudes des oscillations et nous utilisons celle-ci pour déterminer la location du seuil. Contrairement au cas sans délai, nous démontrons que la location des lignes de bifurcation est modifiée comparé à la limite déterministique et donc que l'intéraction entre les corrélations des fluctuations et le délai affectent la stabilité des solutions du modèle étudié. De plus, nous obtenons le temps de corrélation charactéristique associé au modèle. En particulier, la validité de l'hypothèse d'indépendance statistique entre l'état au temps t ainsi qu'au temps t-τ est examinée. Nous trouvons que le temps de corrélation diverge à la bifurcation, signalant l'infirmation de l'indépendence statistique au seuil de bifurcation. Nous déterminons le temps de corrélation par une intégration directe de l'équation gouvernant le modèle ainsi qu'analytiquement dans la limite où le délai est petit. Le temps de corrélation T diverge suivant une relation du type T ~ a^-1, où a est le paramètre de contrôle et où a_{c}=0 est la location de la bifurcation. L'expansion dans la limite où le délai est petit prédit correctement la location du seuil de bifurcation. Néanmoins, des déviations systématiques dans la magnitude du temps de corrélation sont observées entre les deux résultats.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LACETR/oai:collectionscanada.gc.ca:QMM.104484 |
| Date | January 2011 |
| Creators | Gaudreault, Mathieu |
| Contributors | Jorge Vinals (Internal/Supervisor) |
| Publisher | McGill University |
| Source Sets | Library and Archives Canada ETDs Repository / Centre d'archives des thèses électroniques de Bibliothèque et Archives Canada |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation |
| Format | application/pdf |
| Coverage | Doctor of Philosophy (Department of Physics) |
| Rights | All items in eScholarship@McGill are protected by copyright with all rights reserved unless otherwise indicated. |
| Relation | Electronically-submitted theses. |
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