La thèse présente une description géométrique d’un germe de famille générique
déployant un champ de vecteurs réel analytique avec un foyer faible à l’origine
et son complexifié : le feuilletage holomorphe singulier associé. On montre que
deux germes de telles familles sont orbitalement analytiquement équivalents si
et seulement si les germes de familles de difféomorphismes déployant la complexification de leurs fonctions de retour de Poincaré sont conjuguées par une
conjugaison analytique réelle. Le “caractère réel” de la famille correspond à sa
Z2-équivariance dans R^4, et cela s’exprime comme l’invariance du plan réel sous
le flot du système laquelle, à son tour, entraîne que l’expansion asymptotique de
la fonction de Poincaré est réelle quand le paramètre est réel. Le pullback du plan
réel après éclatement par la projection monoidal standard intersecte le feuilletage
en une bande de Möbius réelle. La technique d’éclatement des singularités permet
aussi de donner une réponse à la question de la “réalisation” d’un germe de famille
déployant un germe de difféomorphisme avec un point fixe de multiplicateur
égal à −1 et de codimension un comme application de semi-monodromie d’une
famille générique déployant un foyer faible d’ordre un. Afin d’étudier l’espace
des orbites de l’application de Poincaré, nous utilisons le point de vue de Glutsyuk,
puisque la dynamique est linéarisable auprès des points singuliers : pour les valeurs réels du paramètre, notre démarche, classique, utilise une méthode géométrique,
soit un changement de coordonée (coordonée “déroulante”) dans lequel la dynamique devient beaucoup plus simple. Mais le prix à payer est que la géométrie locale du plan complexe ambiante devient une surface de Riemann, sur laquelle deux notions de translation sont définies. Après avoir pris le quotient par le relèvement de la dynamique nous obtenons l’espace des orbites, ce qui s’avère être l’union de trois tores complexes plus les points singuliers (l’espace résultant est non-Hausdorff). Les translations, le caractère réel de l’application de Poincaré
et le fait que cette application est un carré relient les différentes composantes du
“module de Glutsyuk”. Cette propriété implique donc le fait qu’une seule composante
de l’invariant Glutsyuk est indépendante. / The thesis gives a geometric description for the germ of the singular holomorphic foliation associated with the complexification of a germ of generic analytic family unfolding a real analytic vector field with a weak focus at the origin. We show that two such germs of families are orbitally analytically equivalent if and only if the germs of families of diffeomorphisms unfolding the complexified Poincaré map of the singularities are conjugate by a real analytic conjugacy. The Z2-equivariance
of the family of real vector fields in R^4 is called the “real character” of the system.
It is expressed by the invariance of the real plane under the flow of the system
which, in turn, carries the real asymptotic expansion of the Poincaré map when
the parameter is real. After blowing up the singularity, the pullback of the real
plane by the standard monoidal map intersects the foliation in a real Möbius strip. The blow up technique allows to “realize” a germ of generic family unfolding
a germ of diffeomorphism of codimension one and multiplier −1 at the origin as the semi-monodromy of a generic family unfolding an order one weak focus. In order to study the orbit space of the Poincaré map, we perform a trade-off between geometry and dynamics under the Glutsyuk point of view (where the dynamics is linearizable near the singular points): in the resulting “unwrapping coordinate” the dynamics becomes much simpler, but the price we pay is that the local geometry of the ambient complex plane turns into a much more involved
Riemann surface. Over the latter, two notions of translations are defined. After
taking the quotient by the lifted dynamics we get the orbit space, which turns out
to be the union of three complex tori and the singular points (this space is non-
Hausdorff). The Glutsyuk invariant is then defined over annular-like regions on the tori. The translations, the real character and the fact that the Poincaré map is
the square of the semi-monodromy map, relate the different components of the Glutsyuk modulus. That property yields only one independent component of the Glutsyuk invariant.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LACETR/oai:collectionscanada.gc.ca:QMU.1866/6100 |
| Date | 06 1900 |
| Creators | Arriagada Silva, Waldo G. |
| Contributors | Rousseau, Christiane |
| Source Sets | Library and Archives Canada ETDs Repository / Centre d'archives des thèses électroniques de Bibliothèque et Archives Canada |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | Thèse ou Mémoire numérique / Electronic Thesis or Dissertation |
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