Soit fi un sous-ensemble ouvert de Rd (d > 2) et soit x E fi. Une mesure de Jensen pour x par rapport à fi est une mesure borélienne de probabilité /i, supportée par un sous-ensemble compact de fi, telle que J ud/i < u(x) pour chaque fonction surharmonique u définie sur fi. Notons par Jx(fi) la famille des mesures de Jensen pour x par rapport à fi et par Jx(fi) l'ensemble des éléments extrémaux de Jx(tt). Le principal problème relié aux mesures de Jensen n'est pas de les exhiber comme il est parfois le cas avec certains objets mathématiques. Il est plutôt question de les contrôler, c'est-à-dire de les exprimer en termes d'objets mieux connus. C'est ce dont il est question dans cette thèse. Dans les Chapitres 1 à 3, on introduit les différents concepts que le lecteur devrait connaître pour bien comprendre la suite. On y aborde les principaux résultats de la théorie du potentiel classique, les mesures de Jensen ainsi que la théorie fine du potentiel et les mesures finement harmoniques construites à partir de la topologie fine relative à l'ensemble de fonctions surharmoniques. Le résultat principal de cette thèse est la caractérisation complète de ext(Jr(fi)) en termes de mesures finement harmoniques et aussi en termes de limites de mesures harmoniques définies sur des suites décroissantes de domaines. Ceci représente le contenu des Théorèmes 0.1 et 0.2 démontrés aux Chapitres 4 à 8. Au Chapitre 9, on présente un résultat sur la majoration des mesures de Jensen par les mesures harmoniques. Par le fait même, on affaiblit l'hypothèse sur la borne inférieure locale dans un résultat de B. Cole et T. Ransford (le résultat principal de Jensen measures and harmonie measures, J. Reine Angew. Math. 541 (2001), 29-53). Au chapitre 10, on présente une application à l'analyse complexe dans laquelle on améliore un résultat de Khabibullin sur la question de savoir, étant donné une suite (an) de nombres complexes et une fonction continue M : C -> R+ , s'il existe une fonction entière / ^ 0 qui s'annule en chaque an et dont le module est inférieur à M. Finalement, au chapitre 10, il est question d'une troisième caractérisation des mesures de Jensen extrémales en termes d'approximation par les fonctions (J-surharmoniques.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LAVAL/oai:corpus.ulaval.ca:20.500.11794/18998 |
| Date | 12 April 2018 |
| Creators | Roy, Sylvain |
| Contributors | Ransford, Thomas Joseph |
| Source Sets | Université Laval |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | thèse de doctorat, COAR1_1::Texte::Thèse::Thèse de doctorat |
| Format | ix, 74 f., application/pdf |
| Rights | http://purl.org/coar/access_right/c_abf2 |
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