[pt] A Geometria Diferencial Discreta tem por objetivo desenvolver uma teoria discreta que respeite os aspectos fundamentais da teoria suave. Com isto em mente, são apresentados incialmente resultados da teoria suave da Geometria Afim que terão suas versões discretas tratadas a posteriori. O primeiro objetivo deste trabalho é construir uma estrutura afim discreta para as redes assintóticas definidas no espaço tridimensional, com métrica de Blaschke indefinida e parâmetros assintóticos. Com este intuito, são definidos um campo conormal, que satisfaz as equações de Lelieuvre e está associado a um parâmetro real, e um normal afim que define a forma cúbica da rede e torna a estrutura bem definida. Esta estrutura permite, por exemplo, o estudo das superfícies regradas, com ênfase nas esferas afins impróprias. Além disso, propõe-se uma definição para as singularidades no caso das esferas afins impróprias discretas a partir da construção centrocorda. Outro objetivo deste trabalho é propor uma definição para as superfícies afins discretas com curvatura afim média constante (CAMC), de forma que englobe as superfícies afins mínimas e as esferas afins. As superfícies afins mínimas discretas recebem uma caracterização geométrica bastante interessane e ligada diretamente às quádricas de Lie discretas. O trabalho se completa com o principal resultado, referente à versão discreta das superfícies de Cayley, esferas afins impróprias regradas caracterizadas a partir da conexão afim induzida: uma rede assintótica com CAMC é congruente equiafim à uma superfície de Cayley se, e somente se, a forma cúbica é não nula e a conexão afim induzida é paralela. / [en] Discrete Differential Geometry aims to develop a discrete theory which respects fundamental aspects of smooth theory. With this in mind, some results of smooth theory of Affine Geometry are firstly introduced since their discrete counterparts shall be treated a posteriori. The first goal of this work is construct a discrete affine structure for nets in a three-dimensional space with indefinite Blaschke metric and asymptotic parameters. For this purpose, one defines a conormal vector field, which satisfies
Lelieuvre s equations and it is associated to a real parameter; and an affine normal
vector field, which defines the cubic form of the net and makes the structure well
defined. This structure allows to study, e.g., ruled surfaces with emphasis on improper
affine spheres. Moreover, a definition for singularities is proposed in the case of discrete
improper affine spheres from the center-chord construction. Another goal here is to
propose a definition for an asymptotic net with constant affine mean curvature
(CAMC), in a way that encompasses discrete affine minimal surfaces and discrete affine
spheres. Discrete affine minimal surfaces receive a beautiful geometrical
characterization directly linked to discrete Lie quadrics. This work is completed with
the main result about a discrete version of Cayley surfaces, which are ruled improper
affine spheres that can be characterized by the induced connection as: an asymptotic net
with CAMC is equiaffinely congruent to a Cayley surface if and only if the cubic form
does not vanish and the affine induced connection is parallel.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:puc-rio.br/oai:MAXWELL.puc-rio.br:54401 |
| Date | 26 August 2021 |
| Creators | ANDERSON REIS DE VARGAS |
| Contributors | MARCOS CRAIZER |
| Publisher | MAXWELL |
| Source Sets | PUC Rio |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | TEXTO |
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