Tester l’indépendance entre plusieurs vecteurs aléatoires est une question importante
en statistique. Puisqu’il y a une infinité de manières par lesquelles une
quantité aléatoire X peut dépendre d’une autre quantité aléatoire Y , ce n’est pas
une question triviale, et plusieurs tests “classiques” comme Spearman [33], Wilks
[40], Kendall [18] ou Puri and Sen [24] sont inefficaces pour détecter plusieurs
formes de dépendance. De significatifs progrès dans ce domaine ont été réalisés
récemment, par exemple dans Székely et al. [34], Gretton et al. [14] ou Heller
et al. [15]. Cela dit, la majorité des tests disponibles détectent l’indépendance
entre deux quantités aléatoires uniquement. L’indépendance par paires ne garantissant
pas l’indépendance mutuelle, il est pertinent de développer des méthodes
testant l’hypothèse d’indépendance mutuelle entre n’importe quel nombre de variables.
Dans cette recherche nous proposons un test non-paramétrique et toujours
convergent, applicable à un nombre quelconque de vecteurs aléatoires.
Précisément, nous étendons la méthode décrite dans Heller et al. [15] de deux
manières. Premièrement, nous proposons d’appliquer leur test aux rangs des observations,
plutôt qu’aux observations elles-mêmes. Ensuite, nous étendons leur
méthode pour qu’elle puisse tester l’indépendance entre un nombre quelconque
de vecteurs. La distribution de notre statistique de test étant inconnue, nous
utilisons une méthode de permutations pour calculer sa valeur-p. Des simulations
sont menées pour obtenir la puissance du test, que nous comparons à celles
d’autres test décrits dans Genest and Rémillard [10], Gretton et al. [14], Székely
et al. [34], Beran et al. [3] et Heller et al. [15]. Nous investiguons divers exemples
et dans plusieurs de ceux-ci la puissance de notre test est meilleure que celle des
autres tests. En particulier, lorsque les variables aléatoires sont Cauchy notre test
performe bien mieux que les autres. Pour le cas de vecteurs aléatoires strictement
discrets, nous présentons une preuve que notre test est toujours convergent. / Testing for independence between random vectors is an important question in statistics.
Because there is an infinite number of ways by which a random quantity
X can be dependent of another random quantity Y , it is not a trivial question.
It has been found that classical tests such has Spearman [33],Wilks [40], Kendall
[18] or Puri and Sen [24] are ineffective to detect many forms of dependence.
Recent, significant results on the topic include Székely et al. [35], Gretton et al.
[14] or Heller et al. [15]. However, most of the available tests can only detect dependence
between two random quantities. Because pairwise independence does
not guarantee mutual independence, techniques testing the hypothesis of mutual
independence between any number of random quantities are required. In this
research we propose a non-parametric and universally consistent test of independence,
applicable to any number of random vectors of any size.
Precisely, we extend the procedure described in Heller et al. [15] in two ways.
Firstly, we propose to use the ranks of the observations instead of the observations
themselves. Secondly, we extend their method to test for independence between
any number of random vectors. As the distribution of our test statistic is not
known, a permutation method is used to compute p−values. Then, simulations
are performed to obtain the power of the test. We compare the power of our new
test to that of other tests, namely those in Genest and Rémillard [10], Gretton
et al. [14], Székely et al. [34], Beran et al. [3] and Heller et al. [15]. Examples featuring
random variables and random vectors are considered. For many examples
investigated we find that our new test has similar or better power than that of
the other tests. In particular, when the random variables are Cauchy, our new
test outperforms the others. In the case of strictly discrete random vectors, we
present a proof that our test is universally consistent.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:umontreal.ca/oai:papyrus.bib.umontreal.ca:1866/18773 |
| Date | 11 1900 |
| Creators | Boglioni Beaulieu, Guillaume |
| Contributors | Lafaye de Micheaux, Pierre, Avanzi, Benjamin, Wong, Bernard |
| Source Sets | Université de Montréal |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | Thèse ou Mémoire numérique / Electronic Thesis or Dissertation |
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