Optimierungsaufgaben unter Partiellen Differentialgleichungen (PDGLs) tauchen in verschiedensten Anwendungen der Wissenschaft und Technik auf. Wenn wir ein PDGL Problem formulieren, kann es aufgrund seiner Größe unmöglich werden, das Problem mit konventionellen Methoden zu lösen. Zusätzlich noch eine Optimierung auszuführen birgt zusätzliche Schwierigkeiten. In vielen Fällen können wir das PDGL Problem in einem kompakteren Format formulieren indem wir der zugrundeliegenden Kronecker-Produkt Struktur zwischen Raum- und Zeitdimension Aufmerksamkeit schenken. Wenn die PDGL zusätzlich mit Isogeometrischer Analysis diskretisiert wurde, können wir zusätlich eine Niedrig-Rang Approximation zwischen den einzelnen Raumdimensionen erzeugen. Diese Niedrig-Rang Approximation lässt uns die Systemmatrizen schnell und speicherschonend aufstellen. Das folgende PDGL-Problem lässt sich als Summe aus Kronecker-Produkten beschreiben, welche als eine Niedrig-Rang Tensortrain Formulierung interpretiert werden kann. Diese kann effizient im Niedrig-Rang Format gelöst werden. Wir illustrieren dies mit unterschiedlichen, anspruchsvollen Beispielproblemen.:Introduction
Tensor Train Format
Isogeometric Analysis
PDE-constrained Optimization
Bayesian Inverse Problems
A low-rank tensor method for PDE-constrained optimization with Isogeometric Analysis
A low-rank matrix equation method for solving PDE-constrained optimization problems
A low-rank tensor method to reconstruct sparse initial states for PDEs with Isogeometric Analysis
Theses and Summary
Bibilography / Optimization problems governed by Partial Differential Equations (PDEs) arise in various applications of science and engineering. If we formulate a discretization of a PDE problem, it may become infeasible to treat the problem with conventional methods due to its size. Solving an optimization problem on top of the forward problem poses additional difficulties. Often, we can formulate the PDE problem in a more compact format by paying attention to the underlying Kronecker product structure between the space and time dimension of the discretization. When the PDE is discretized with Isogeometric Analysis we can additionally formulate a low-rank representation with Kronecker products between its individual spatial dimensions. This low-rank formulation gives rise to a fast and memory efficient assembly for the system matrices. The PDE problem represented as a sum of Kronecker products can then be interpreted as a low-rank tensor train formulation, which can be efficiently solved in a low-rank format. We illustrate this for several challenging PDE-constrained problems.:Introduction
Tensor Train Format
Isogeometric Analysis
PDE-constrained Optimization
Bayesian Inverse Problems
A low-rank tensor method for PDE-constrained optimization with Isogeometric Analysis
A low-rank matrix equation method for solving PDE-constrained optimization problems
A low-rank tensor method to reconstruct sparse initial states for PDEs with Isogeometric Analysis
Theses and Summary
Bibilography
| Identifer | oai:union.ndltd.org:DRESDEN/oai:qucosa:de:qucosa:76937 |
| Date | 14 December 2021 |
| Creators | Bünger, Alexandra |
| Contributors | Stoll, Martin, Simoncini, Valeria, Elman, Howard C., Technische Universität Chemnitz |
| Source Sets | Hochschulschriftenserver (HSSS) der SLUB Dresden |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, doc-type:doctoralThesis, info:eu-repo/semantics/doctoralThesis, doc-type:Text |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
| Relation | 10.1137/18m1227238, 1064-8275, 1095-7197, 10.1137/20m1341210, 1064-8275, 1095-7197 |
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