Optimal orbital trajectories are obtained through the solution of highly nonlinear large scale problems. In the case of low-thrust propulsion applications, the spacecraft benefits from high specific impulses and, hence, greater payload mass. However, these missions require a high count of orbital revolutions and, therefore, display augmented sensitivity to many disturbances. Solutions to such problems can be tackled via a discrete approach, using optimal feedback control laws. Historically, differential dynamic programming (DDP) has shown outstanding results in tackling these problems. A state of the art software that implements a variation of DDP has been developed by Whiffen and it is used by NASA’s DAWN mission [Mystic: Implementation of the Static Dynamic Optimal Control Algorithm for High-Fidelity, Low-Thrust Trajectory Design" , AAS/AIAA Astrodynamics Specialist Conference, (Keystone, Colorado), American Institute of Aeronautics and Astronautics, Aug. 21, 2006]. One of the latest techniques implemented to deal with these discrete constrained optimizations is the Hybrid Differential Dynamic Programming (HDDP) algorithm, introduced by Lantoine and Russell in [A Hybrid Differential Dynamic Programming Algorithm for Constrained Optimal Control Problems. Part 1: Theory", Journal of Optimization Theory and Applications, vol. 154, pp. 382-417, issue 2, Aug. 1, 2012]. This method complements the reliability and efficiency of classic nonlinear programming techniques with the robustness to poor initial guesses and the reduced computational effort of DDP. The key feature of the algorithm is the exploitation of a second order state transition matrix procedure to propagate the needed partials, decoupling the dynamics from the optimization. In doing so, it renders the integration of dynamical equations suitable for parallelization. Together with the possibility to treat constrained problems, this represents the greatest improvement of classic DDP. Nevertheless, the major limitation of this approach is the high computational cost to evaluate the required state transition matrices. Analytical derivatives, when available, have shown a significant reduction in the computational cost and time for HDDP application. This work applies differential algebra to HDDP to cope with this limitation. In particular, differential algebra is introduced to obtain state transition matrices as polynomial maps. These maps come directly from the integration of the dynamics of the system, removing the dedicated algorithmic step and reducing its computational cost. Moreover, by operating on polynomial maps, all the solutions of local optimization problems are treated through differential algebraic techniques. This approach allows us to deal with higher order expansions of the cost, without modifying the algorithm. The leading assumption of this work is that, treating higher than second order expansions, grants larger radii of convergence for the algorithm, improved robustness to initial guesses, hence faster rates of convergence. Examples are presented in this thesis to assess the performance of the newly constructed algorithm and to test the assumptions. / Optimala omloppsbanor erhålls genom lösningen av mycket storskaliga olinjära problem. I fallet med låg framdrivningskraft så drar farkosten nytta av hög specifik impuls och därmed större slutlig farkostmassa. Dock så kräver dessa rymduppdrag flera omloppsvarv och uppvisar därför ökad känslighet för olika störningskrafter. Lösningar på dessa problem kan hanteras via ett diskret tillvägagångssätt med hjälp av optimal reglering. Historiskt har differentialdynamisk programmering (DDP) visat enastående resultat för att hantera dessa problem. En toppmodern programvara som implementerar en variation av DDP har utvecklats av Whiffen i ["Mystic: Implementation of the Static Dynamic Optimal Control Algorithm for High-Fidelity, Low-Thrust Trajectory Design" , AAS/AIAA Astrodynamics Specialist Conference, (Keystone, Colorado), American Institute of Aeronautics and Astronautics, Aug. 21, 2006] och används av NASA:s rymduppdrag Dawn. En av de senaste teknikerna som implementerats för att hantera dessa diskreta och begränsade optimeringar är en hybrid differentialdynamisk programmeringsalgoritm (HDDP) som introducerades av Lantoine och Russell i ["A Hybrid Differential Dynamic Programming Algorithm for Constrained Optimal Control Problems. Part 1: Theory", Journal of Optimization Theory and Applications, vol. 154, pp. 382-417, issue 2, Aug. 1, 2012]. Denna metod kompletterar pålitligheten och effektiviteten hos klassiska olinjära programmeringstekniker med robusthet mot dåliga initiala gissningar och den reducerade beräkningskostnaden för DDP. Nyckelegenskapen hos algoritmen är utnyttjandet av en procedur för andra ordningens övergångsmatris för propagering av de erforderliga partiella derivatorna. Denna procedur frikopplar också dynamiken från optimeringen. Genom att göra så blir integration av de dynamiska ekvationerna lämpliga för parallellisering. Tillsammans med förmågan att ta itu med begränsade problem representerar detta den största förbättringen av klassisk DDP. Ändå är den stora begränsningen av detta tillvägagångssätt den höga kostnaden för beräkningar som krävs för att utvärdera tillståndsövergångsmatriserna. När de är tillgängliga, har analytiska derivatorer visat en signifikant minskning av beräkningskostnaden och tiden för HDDP-tillämpningar. Detta arbete tillämpar differentialalgebra på HDDP för att klara av denna begränsning. I synnerhet införs differentialalgebra för att erhålla tillståndsövergångsmatriser som polynomavbildningar. Dessa avbildningar kommer direkt från integrationen av systemets dynamik och därför är det möjligt att ta bort det dedikerade algoritmiska steget och minska beräkningskostnaden. Vidare behandlas alla lösningar av lokala optimeringsproblem genom olika algebraiska tekniker genom att använda polynomkartor. Detta tillvägagångssätt tillåter oss att hantera högre ordningens expansionstermer av kostnadsfunktionen utan att ändra algoritmen. Det främsta antagandet i detta arbete är att behandling av högre än andra ordningens expansionstermer ger större konvergensradier för algoritmen, förbättrad robusthet mot sämre initiala gissningar och följaktligen snabbare konvergensnivåer. Exempel presenteras i denna examensarbete för att bedöma prestandan hos den nybyggda algoritmen och för att testa antagandena.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:UPSALLA1/oai:DiVA.org:kth-265676 |
| Date | January 2018 |
| Creators | Maestrini, Michele |
| Publisher | KTH, Rymdteknik |
| Source Sets | DiVA Archive at Upsalla University |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | Student thesis, info:eu-repo/semantics/bachelorThesis, text |
| Format | application/pdf |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
| Relation | TRITA-SCI-GRU ; 2018:446 |
Page generated in 0.0017 seconds