Despite its history of more than one hundred years, the phenomenon of
superconductivity has not lost any of its allure. During that time the concept
and perception of the superconducting state - both from an experimental and
theoretical point of view - has evolved in way that has
triggered increasing interest. What was initially believed to simply be the
disappearance of electrical resistivity, turned out to be a universal and
inevitable result of quantum statistics, characterized by many more
aspects apart from its zero resistivity. The insights of
BCS-theory eventually helped to uncover its deep connection to particle physics
and consequently led to the formulation of the Anderson-Higgs-mechanism. The
very core of this theory is the concept of gauge symmetry (breaking). Within the
framework of condensed-matter theory, gauge invariance is only one of several
symmetry groups which are crucial for the description and classification of
superconducting states. \\
In this thesis, we employ time-reversal, inversion, point group and spin
symmetries to investigate and derive possible Hamiltonians featuring spin-orbit
interaction in two and three spatial dimensions.
In particular, this thesis aims at a generalization of existing numerical
concepts to open up the path to spin-orbit coupled (non)centrosymmetric
superconductors in multi-orbital models.
This is done in a two-fold way: On the one hand, we formulate - based on the
Kohn-Luttinger effect - the perturbative renormalization group in the
weak-coupling limit. On the other hand, we define the spinful flow equations of
the effective action in the framework of functional renormalization, which is
valid for finite interaction strength as well. Both perturbative and functional
renormalization groups produce a low-energy effective (spinful) theory that
eventually gives rise to a particular superconducting state, which is investigated
on the level of the irreducible two-particle vertex. The symbiotic relationship
between both perturbative and functional renormalization can be traced back to
the fact that, while the perturbative renormalization at infinitesimal coupling
is only capable of dealing with the Cooper instability, the functional
renormalization can investigate a plethora of instabilities both in the
particle-particle and particle-hole channels. \\
Time-reversal and inversion are the two key symmetries, which are being used to
discriminate between two scenarios. If both time-reversal and inversion symmetry
are present, the Fermi surface will be two-fold degenerate and characterized by a
pseudospin degree of freedom. In contrast, if inversion symmetry is broken, the
Fermi surface will be spin-split and labeled by helicity. In both cases, we
construct the symmetry allowed states in the particle-particle as well as the
particle-hole channel. The methods presented are formally unified and implemented
in a modern object-oriented reusable and extendable C++ code.
This methodological implementation is employed to one member of both families of
pseudospin and helicity characterized systems. For the pseudospin case, we choose
the intriguing matter of strontium ruthenate, which has been heavily
investigated for already twenty-four years, but still keeps puzzling researchers.
Finally, as the helicity based application, we consider the oxide heterostructure
LaAlO$_{3}$/SrTiO$_{3}$, which became famous for its highly mobile two-
dimensional electron gas and is suspected to host topological superconductivity. / Trotz seiner über hundertjährigen Geschichte seit seiner Entdeckung hat das Phänomen der
Supraleitung nichts von seiner ursprünglichen Faszination eingebüßt. Vielmehr
hat sich in der Zwischenzeit der Begriff und das Verständnis des
supraleitenden Zustandes in einer Weise weiterentwickelt, die das Interesse daran
eher hat zunehmen lassen. Was anfänglich ausschließlich für ein Verschwinden
des elektrischen Widerstands gehalten wurde, ist tatsächlich ein universelles
und unvermeidliches Resultat der Quantenstatistik und besitzt viel mehr
bemerkenswerte Eigenschaften als nur den widerstandslosen elektrischen Transport.
Die Erkenntnisse der BCS-Theorie haben schließlich dazu geführt die tiefe
Verbindung zur Teilchenphysik zu offenbaren und trugen entscheidend zur
Formulierung des Anderson-Higgs-Mechanismus bei. Der wichtigste Baustein dieser
Theorie ist das Konzept der (Brechung der) Eichsymmetrie. Im Rahmen der
Festkörperphysik ist die Eichsymmetrie nur eine von mehreren Symmetrien, die
eine essentielle Rolle für die Beschreibung und Einordnung von Phänomenen der
Supraleitung spielen. \\
In dieser Arbeit wenden wir Zeitumkehr-, (räumliche) Inversions-, Punktgruppen- und
Spin-Symmetrien an, um mögliche Hamilton-Operatoren in zwei und drei räumlichen
Dimensionen, welche Spin-Bahn-Kopplung enthalten, herzuleiten und zu untersuchen.
Diese Arbeit zielt auf eine Verallgemeinerung von existierenden numerischen
Konzepten ab und erschließt den Weg die supraleitenden Eigenschaften von Modellen
mit starker Spin-Bahn-Kopplung und mit oder ohne Inversionszentrum zu untersuchen.
Dies geschieht mit Hilfe zweier methodischer Ansätze. Erstens formulieren wir
aufbauend auf dem Kohn-Luttinger Effekt die störungstheoretische
Renormierungsgruppe im Limes schwacher Kopplung. Zweitens verwenden wir die
spinaufgelösten Flussgleichungen der effektiven Wirkung im Rahmen der funktionalen
Renormierungsgruppe, die auch für endliche Wechselwirkungsstärke gültig sind.
Die symbiotische Ergänzung der perturbativen und funktionalen Renormierungsgruppen
ist darauf zurückzuführen, dass es mit der perturbativen Methode zwar möglich ist
die Cooper Instabilität bei infinitesimaler Wechselwirkung numerisch exakt zu
berechnen, aber nur die funktionale Renormierungsgruppe auch Teilchen-Loch
Kondensate zugänglich macht. \\
Zeitumkehr- und Inversionssymmetrie sind die beiden Schlüsselsymmetrien, die
verwendet werden, um zwei Szenarien zu unterscheiden. Falls sowohl Zeitumkehr-
als auch Inversionssymmetrie gültig sind, sind die Fermiflächen zweifach entartet und durch
einen Pseudospin-Freiheitsgrad charakterisiert. Im Gegensatz dazu führt der
Verlust der Inversionssymmetrie zur Spinaufspaltung der Fermiflächen, die dann
durch die sogenannte Helizität gekennzeichnet sind. In beiden Fällen leiten wir
alle symmetrie-erlaubten Zustände her, welche die entsprechenden Teilchen-Teilchen
und Teilchen-Loch Kondensate beschreiben.
Die vorstellten und verallgemeinerten Methoden sind im Rahmen dieser Arbeit
formal miteinander verbunden und in einem modernen objektorientierten
C++ Quellcode implementiert worden. \\
Als erste vorläufige Anwendungen für diese methodische Implementierung betrachten
wir zwei Systeme, die jeweils einer der beiden Familien zugeordnet werden können.
Zum einen berechnen wir in der Pseudospin-Formulierung der perturbativen und
funktionalen Renormierungsgruppen die Instabilitäten eines Dreiorbital-Modells
für Strontiumruthenat, das seit seiner erstmaligen Synthese trotz intensiver
Forschung immer noch Rätsel aufgibt. Zum anderen betrachten wir das zweidimensionale
Elektronengas, das sich an der Schnittstelle zwischen LaAlO$_{3}$ und SrTiO$_{3}$
bildet und welches durch seine hohe Ladungsträgermobilität
bekannt geworden ist.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:uni-wuerzburg.de/oai:opus.bibliothek.uni-wuerzburg.de:17503 |
| Date | January 2019 |
| Creators | Fink, Mario |
| Source Sets | University of Würzburg |
| Language | English |
| Detected Language | German |
| Type | doctoralthesis, doc-type:doctoralThesis |
| Format | application/pdf |
| Rights | https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.de, info:eu-repo/semantics/openAccess |
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