Neste trabalho estudamos dinâmica Hamiltoniana em $\\mathbb{R}^4$ restrita a níveis de energia próximos a níveis críticos. Mais precisamente, consideramos uma função Hamiltoniana $H: \\mathbb{R}^4 \\to \\mathbb{R}$ que possui um ponto de equilíbrio do tipo sela-centro $p_c \\in H^{-1}(0)$ e assumimos que $p_c$ pertence a um conjunto singular estritamente convexo $S_0 \\subset H^{-1}(0)$. Então, mostramos que os níveis de energia $H^{-1}(E)$, com $E>0$ suficientemente pequeno, contêm uma $3$-bola fechada $S_E$ próxima a $S_0$ que admite um sistema de seções transversais $F_E$, chamado folheação $2-3$. $F_E$ é uma folheação singular de $S_E$ com conjunto singular formado por duas órbitas periódicas $P_{2,E}\\subset \\partial S_E$ e $P_{3,E}\\subset S_E\\setminus \\partial S_E$. A órbita $P_{2,E}$ é hiperbólica dentro do nível de energia $H^{-1}(E)$, pertence à variedade central do sela-centro $p_c$, tem índice de Conley-Zehnder $2$ e é o limite assintótico de dois planos rígidos de $F_E$ que, unidos com $P_{2,E}$, constituem a $2$-esfera $\\partial S_E$. A órbita $P_{3,E}$ tem índice de Conley-Zehnder $3$ e é o limite assintótico de uma família a um parâmetro de planos de $F_E$ contida em $S_E\\setminus \\partial S_E$. Um cilindro rígido conectando as órbitas $P_{3,E}$ e $P_{2,E}$ completa a folheação $F_E$. Uma vez que $F_E$ é um sistema de seções transversais, todas as suas folhas regulares são transversais ao fluxo Hamiltoniano de $H$. Como consequência da existência de uma tal folheação em $S_E$, concluímos que a órbita hiperbólica $P_{2,E}$ admite pelo menos uma órbita homoclínica contida em $S_E \\setminus \\partial S_E$. / In this work we study Hamiltonian dynamics in $\\mathbb R ^4$ restricted to energy levels close to critical levels. More precisely, we consider a Hamiltonian function $H:\\mathbb R ^4 \\to \\mathbb R$ containing a saddle-center equilibrium point $p_c \\in H^ -1 (0)$ and we assume that $p_c$ lies on a strictly convex singular set $S_0 \\subset H^ -1 (0)$. Then we prove that the energy levels $H^ -1 (E)$, with $E>0$ sufficiently small, contain a closed $3$-ball $S_E$ near $S_0$ admitting a system of transverse sections $F_E$, called a $2-3$ foliation. $F_E$ is a singular foliation of $S_E$ and its singular set consists of two periodic orbits $P_{2,E}\\subset \\partial S_E$ and $P_{3,E}\\subset S_E\\setminus \\partial S_E$. The orbit $P_{2,E}$ is hyperbolic inside the energy level $H^ -1 (E)$, lies on the center manifold of the saddle-center $p_c$, has Conley-Zehnder index $2$ and is the asymptotic limit of two rigid planes of $F_E$, which compose the $2$-sphere $S_E$ together with $P_{2,E}$. The orbit $P_{3,E}$ has Conley-Zehnder index $3$ and is the asymptotic limit of a one parameter family of planes of $F_E$ contained in $S_E \\setminus \\partial S_E$. A rigid cylinder connecting the orbits $P_{3,E}$ and $P_{2,E}$ completes the foliation $F_E$. Since $F_E$ is a system of transverse sections, all its regular leaves are transverse to the Hamiltonian flow of $H$. As a consequence of the existence of such foliation in $S_E$, we conclude that the hyperbolic orbit $P_{2,E}$ admits at least one homoclinic orbit contained in $S_E\\setminus \\partial S_E$.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:usp.br/oai:teses.usp.br:tde-01072014-125659 |
| Date | 10 June 2014 |
| Creators | Paulo, Naiara Vergian de |
| Contributors | Salomão, Pedro Antonio Santoro |
| Publisher | Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USP |
| Source Sets | Universidade de São Paulo |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | Portuguese |
| Type | Tese de Doutorado |
| Format | application/pdf |
| Rights | Liberar o conteúdo para acesso público. |
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