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Previous issue date: 2007 / Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado da Bahia / Por muito tempo, foi (e ainda é) comum entre físicos estatísticos acreditarem
que transições fásicas só poderiam ocorrer em sistemas com dimensões
maiores que um. Baseados nesta tradição e em simulações computacionais [1],
vários autores propuseram uma conjectura conhecida como Conjectura de
taxas positivas , chamada aqui CTP, a qual defende que todo autômato celular
unidimensional com interação local uniforme, não-degenerado é ergódico.
Vários autores tentaram refutar esta hipótese, mas somente um obteve sucesso
completo: Gács [2] propôs um sistema muito complicado com 2100 estados,
o qual refuta a CTP. Gray em trabalho posterior [3] explica os resultados obtidos
por Gács sobre o refutar da CTP e expressou acreditar que sistemas muito
simples não podem refutar a CTP.
Toom em [4] propôs uma nova classe de sistemas unidimensionais com
interação local, onde componentes pode aparecer e desaparecer durante o
processo de evolução. Após, o mesmo propôs um sistema muito simples desta
nova classe [5], e provou que, embora unidimensional, exibe alguma forma de
não-ergodicidade. Neste processo, partículas enumeradas por números inteiros
interagem em todo passo de tempo discreto somente com seus vizinhos mais
próximos. Toda partícula tem dois estados, chamados menos e mais . Inicialmente,
o processo começa na configuração todos menos . Em cada passo
de tempo duas transformações ocorrem. A primeira transforma todo menos em
mais com probabilidade independentemente do que acontece nos outros lugares.
Sob a ação da segunda, sempre que um mais é um vizinho esquerdo de
um menos, ambos desaparecem com probabilidade independentemente dos
outros lugares. Dentre os resultados deste processo, Toom provou que quando
é pequeno, a densidade de mais é sempre pequena.
Porém, o caso que chamamos problemático , com = 1, não foi considerado
por Toom, pois neste caso mesmo a exist encia do processo não é evidente.
No primeiro capítulo de nosso trabalho, mostramos rigorosamente que
o processo de Toom está definido para este caso também e que os maiores resultados
dele sobre não ergodicidade ainda permanecem válidos, e até mesmo
apresentam melhores estimações numéricas. No segundo caítulo, nós estudamos
o mesmo processo com qualquer valor de 2 [0, 1] e usamos método
de Monte Carlo e aproximção de campo médio para estimar a linha que separa
as regiões para as quais o processo é ergódico vs. não ergódico e em adição
observamos que para pequenos valores de e , esta linha separadora tem
a inclinação positiva na origem. Uma limitação do processo considerado nos
capítulos um e dois é que ao imaginarmos sistemas finitos, teremos que em
média o processo descrito acima diminui e portanto não tem análogo finito.
No terceiro capítulo, nós apresentamos um outro processo com os mesmos
dois estados menos e mais , mas com tempo contínuo, composto por três
transformações: a primeira, chamada flip, muda menos para mais e mais para
menos com uma taxa . Uma outra chamada aniquilação elimina as duas
partículas vizinhas com uma taxa , se estas estiverem em estados diferentes. A
terceira, chamada mitose, duplica qualquer partícula com uma taxa
. Mitose
não foi utilizada no processo de Toom. Sua presença com uma taxa satisfatória
previne nosso processo de diminuir . O processo com mitose exibiu a mesma
forma de não ergodicidade como Toom provou. Nós mostramos isto usando
simulação de Monte Carlo e estimamos as taxas para as quais nosso processo
é ergódico vs. não ergódico e diminui vs. não diminui
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:repositorio.ufpe.br:123456789/7105 |
| Date | January 2007 |
| Creators | Dias Ramos, Alex |
| Contributors | Toom, André |
| Publisher | Universidade Federal de Pernambuco |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | Portuguese |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/doctoralThesis |
| Source | reponame:Repositório Institucional da UFPE, instname:Universidade Federal de Pernambuco, instacron:UFPE |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
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