Η παρούσα διατριβή εκπονήθηκε ως μια διπλώματική εργασία υπό την επίβλεψη του καθηγητή Αναστάσιου Μπούντη (Τμήμα Μαθηματικό Πανεπιστήμιο Πατρών), κατά την διάρκεια του ακαδημαικού έτους 2012-2013. Στόχος μας ήταν να μελετήσουμε τόσο θεωρητικά όσο και αριθμητικά μη τετριμένες λύσεις και να κατανοήσουμε, σε γενικές γραμμές, τη συμπεριφορά της μη γραμμικής διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης van der Pol.
Στη μελέτη που ακολουθεί εξετάζονται δύο περιπτώσεις της εξίσωσης van der Pol: η αυτόνομη μορφή και η μή αυτόνομη με περιοδικό εξαναγκασμό. Η εξίσωση που μελετάμε είναι μη γραμμική, οπότε
για την ανάλυσή της χρησιμοποιείται η θεωρία διαταραχών μη γραμμικών
διαφορικών εξισώσεων. Η θεωρία αυτή χρησιμοποιείται για τη
κατασκευή προσεγγιστικών λύσεων, οι οποίες
στη συνέχεια συγκρίνονται με τα αντίστοιχα αποτελέσματα που παράγονται
μέσω αριθμητικής ολοκλήρωσης. Σχολιάζονται οι ομοιότητες και οι
διαφορές μεταξύ των μεθόδων, τα πλεονεκτήματα και οι αδυναμίες τους.
Συζητούνται επίσης ορισμένες από τις πιο χαρακτηριστικές ιδιότητες των λύσεων
τόσο στη αυτόνομη, όσο και τη μη αυτόνομη μορφή της εξίσωσης.
Ειδικότερα στο Kεφάλαιο 2 επικεντρωνόμαστε στην αυτόνομη μορφή και παραθέτουμε βασικούς ορισμούς και θεωρήματα της θεωρίας μη γραμμικών
Σ.Δ.Ε, για την ποιοτική μελέτη της εξίσωσης. Μελετάται το
είδος και η ευστάθεια των σημείων ισορροπίας και αποδεικνύεται η ύπαρξη
οριακού κύκλου μέσω της θεωρίας Poincare-Bendixson. Με χρήση των μεθόδων ασυμπτωτικής επέκτασης,
Poincare-Lindstedt και πολλαπλών χρονικών κλιμάκων της
θεωρίας διαταραχών, προσδιορίζονται διαφορετικές προσεγγίσεις του
οριακού κύκλου της εξίσωσης για 0<ε<<1. Σε κάθε περίπτωση
κατασκευάζονται συγκριτικά διαγράμματα, όπου περιγράφονται οι λύσεις που δίνουν η
αριθμητική ολοκλήρωση και οι αναλυτικές
προσεγγίσεις.
Στο Kεφάλαιο 3 αναλύονται μη αυτόνομες μορφές της εξίσωσης και
διακρίνονται δύο περιπτώσεις: Διέγερση συχνότητας κοντά σε αυτή του
αυτόνομου συστήματος και διέγερση συχνότητας μακριά από αυτή του
αυτόνομου συστήματος.
Στην πρώτη περίπτωση υπολογίζονται προσεγγίσεις των περιοδικών
λύσεων της εξίσωσης με τις μεθόδους Poincare-Lindstedt και
πολλαπλών χρονικών κλιμάκων και παρουσιάζονται σε διαγράμματα οι περιοδικές και οι σχεδόν-περιοδικές λύσεις για ορισμένες τιμές των παραμέτρων.
Στη δεύτερη περίπτωση υπολογίζονται προσεγγιστικές λύσεις με τη
μέθοδο δύο χρονικών κλιμάκων και κατασκευάζονται συγκριτικά
διαγράμματα με τη λύση που
δίνει η αριθμητική ολοκλήρωση, για τιμές παραμέτρων που αντιστοιχούν σε περιοδικές και σχεδόν-περιοδικές καταστάσεις.
Στο τέλος του κεφαλαίου δείχνεται η ύπαρξη χαοτικής συμπεριφοράς στο σύστημα μας.
Το Παράρτημα Α περιλαμβάνει τα κυριότερα στοιχεία, ορισμούς και
θεωρήματα, της θεωρίας μη γραμμικών Σ.Δ.Ε, τα οποία
αναφέρονται και εφαρμόζονται στα Κεφάλαια 2 και 3. Τέλος περέχονται όλα τα προγράμματα σε Mathematica, με τα οποία κατασκευάστηκαν τα διαγράμματα της
εργασίας και πραγματοποιήθηκε η αριθμητική ολοκλήρωση των εξισώσεων. / This thesis elaborated as diploma work under the supervision of Professor Anastasios Buddhi (Department of Mathematics University of Patras), during the academic year 2012-2013. Our aim was to study both theoretically and numerically non- trivial solutions and to understand, in general, the behavior of non- linear differential equation of second order van der Pol.
The following study examined both cases the equation van der Pol: the independent form and the non- autonomous by periodic forcing. The equation is nonlinear study, so
for analysis using the perturbation theory of nonlinear
differential equations. The theory is used to
construction of approximate solutions which
then compared with the corresponding results obtained
through numerical integration. Commented on the similarities and
differences between the methods, strengths and weaknesses.
Also discussed some of the most characteristic properties of the solutions
both autonomous and non- autonomous form of the equation.
In particular in Chapter 2 we focus on autonomous form and quote basic definitions and theorems of the theory of nonlinear
SDE for the qualitative study of the equation. studied the
nature and stability of equilibria and prove the existence of
incremental cycle through theory Poincare-Bendixson. Using the methods asymptotic expansion
Poincare-Lindstedt and multiple time scales of
perturbation theory, identified different approaches
boundary circle of the equation for 0 < e << 1. In each case
made comparative charts describing the solutions that give the
numerical integration and analytical
approaches.
In Chapter 3 details the forms of non- autonomous equation
there are two cases: Excitation frequency close to that of
autonomous system and stimulation frequency from that of
autonomous system.
In the first case calculated approximations of periodic
solutions of the equation by the methods of Poincare-Lindstedt and
multiple time scales and charts presented in periodic and quasi- periodic solutions for certain values of parameters.
In the second case calculated approximate solutions with
method two time scales and made comparatively
charts with the solution
gives the numerical integration for parameter values corresponding to periodic and quasi- periodic statements.
At the end of the chapter shows the existence of chaotic behavior in our system.
Appendix A contains the main elements and definitions
theorems of the theory of nonlinear SDE, which
referred to and applied in Chapters 2 and 3. Finally presentation given all programs in Mathematica, the constructed diagrams of
work and performed the numerical integration of the equations.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:upatras.gr/oai:nemertes:10889/7901 |
| Date | 30 July 2014 |
| Creators | Παπανικολάου, Ξενοφών |
| Contributors | Μπούντης, Αναστάσιος, Papanikolaou, Xenofon, Weele, Jacobus Pieter van der, Παπαγεωργίου, Βασίλειος |
| Source Sets | University of Patras |
| Language | gr |
| Detected Language | Greek |
| Type | Thesis |
| Rights | 0 |
| Relation | Η ΒΚΠ διαθέτει αντίτυπο της διατριβής σε έντυπη μορφή στο βιβλιοστάσιο διδακτορικών διατριβών που βρίσκεται στο ισόγειο του κτιρίου της. |
Page generated in 0.0032 seconds