A Natural nEighbours Method (NEM) based on the FRAEIJS de VEUBEKE (FdV) variational
principle is developed in the domain of 2D infinitesimal transformations.
This method is firstly applied to linear elastic problems and then is extended to materially
nonlinear problems and problems of linear elastic fracture mechanics (LEFM).
In all these developments, thanks to the FdV variational principle, the displacement field, the
stress field, the strain field and the support reaction field are discretized independently.
In the spirit of the NEM, nodes are distributed in the domain and on its contour and the
corresponding Voronoi cells are constructed.
In linear elastic problems the following discretization hypotheses are used:
1. The assumed displacements are interpolated between the nodes with Laplace functions.
2. The assumed support reactions are constant over each edge of Voronoi cells on which
displacements are imposed.
3. The assumed stresses are constant over each Voronoi cell.
4. The assumed strains are constant over each Voronoi cell.
The degrees of freedom linked with the assumed stresses and strains can be eliminated at the level
of the Voronoi cells so that the final equation system only involves the nodal displacements and
the assumed support reactions.
The support reactions can be further eliminated from the equation system if the imposed support
conditions only involve constant imposed displacements (in particular displacements imposed to
zero) on a part of the solid contour, finally leading to a system of equations of the same size as in
a classical displacement-based method.
For the extension to materially non linear problems, similar hypotheses are used. In particular, the
velocities are interpolated by Laplace functions and the strain rates are assumed to be constant in
each Voronoi cell.
The final equations system only involves the nodal velocities. It can be solved step by step by time
integration and Newton-Raphson iterations at the level of the different time steps.
In the extension of this method for LEFM, a node is located on each crack tip. In the Voronoi cells
containing the crack tip, the stress and the strain discretization includes not only a constant term
but also additional terms corresponding to the solutions of LEFM for modes 1 and 2.
In this approach, the stress intensity coefficients are obtained as primary variables of the solution.
The final equations system only involves the nodal displacements and the stress intensity
coefficients.
Finally, an eXtended Natural nEighbours Method (XNEM) is proposed in which the crack is
represented by a line that does not conform to the nodes or the edges of the cells.
Based on the hypotheses used in linear elastic domain, the discretization of the displacement field
is enriched with Heaviside functions allowing a displacement discontinuity at the level of the
crack.
In the cells containing a crack tip, the stress and strain fields are also enriched with additional
terms corresponding to the solutions of LEFM for modes 1 and 2.
The stress intensity coefficients are also obtained as primary variables of the solution.
A set of applications are performed to evaluate these developments.
The following conclusions can be drawn for all cases (linear elastic, nonlinear, fracture
mechanics).
In the absence of body forces, the numerical calculation of integrals over the area of the
domain is avoided: only integrations on the edges of the Voronoi cells are required, for
which classical Gauss numerical integration with 2 integration points is sufficient to pass
the patch test.
The derivatives of the nodal shape functions are not required in the resulting formulation.
The patch test can be successfully passed.
Problems involving nearly incompressible materials can be solved without
incompressibility locking in all cases.
The numerical applications show that the solutions provided by the present approach
converge to the exact solutions and compare favourably with the classical finite element
method. / Une méthode des éléments naturels (NEM) basée sur le principe variationnel de FRAEIJS de
VEUBEKE (FdV) est développée dans le domaine des transformations infinitésimales 2D.
Cette méthode est dabord appliquée aux problèmes élastiques linéaires puis est étendue aux
problèmes matériellement non linéaires ainsi quà ceux de la mécanique de la rupture élastique
linéaire (LEFM).
Dans tous ces développements, grâce au principe variationnel de FdV, les champs de
déplacements, contraintes, réformations et réactions dappui sont discrétisés de façon
indépendante.
Dans lesprit de la NEM, des noeuds sont distribués dans le domaine et sur son contour et les
cellules de Voronoi associées sont construites.
En domaine élastique linéaire, les hypothèses de discrétisation sont les suivantes :
1. Les déplacements sont interpolés entre les noeuds par des fonctions de Laplace.
2. Les réactions dappui sont supposées constantes sur chaque côté des polygones de Voronoi
le long desquels des déplacements sont imposés.
3. Les contraintes sont supposées constantes sur chaque cellule de Voronoi.
4. Les déformations sont supposées constantes sur chaque cellule de Voronoi.
Les degrés de liberté associés aux hypothèses sur les contraintes et les déformations peuvent être
éliminées au niveau des cellules de Voronoi de sorte que le système déquations final nimplique
que les déplacement nodaux et les réactions dappui supposées.
Ces dernières peuvent également être éliminées de ce système déquations si les conditions
dappui nimposent que des déplacements constants (en particulier égaux à zéro) sur une partie du
contour du domaine étudié, ce qui conduit à un système déquations de même taille que dans une
approche basée sur la discrétisation des seuls déplacements.
Pour lextension aux problèmes matériellement non linéaires, des hypothèses similaires sont
utilisées. En particulier, les vitesses sont interpolées par des fonctions de Laplace et déformations
sont supposées constantes sur chaque cellule de Voronoi.
Le système déquations final nimplique que les vitesses nodales. Il peut être résolu pas à pas par
intégration temporelle et itérations de Newton-Raphson à chaque pas de temps.
Pour lextension de cette méthode aux problèmes de LEFM, un noeud est localisé à chaque pointe
de fissure. Dans les cellules de Voronoi correspondantes, la discrétisation des contraintes et des
déformations contient non seulement un terme constant mais aussi des termes additionnels
correspondant aux solutions de la LEFM pour les modes 1 et 2.
Avec cette approche, les coefficients dintensité de contraintes constituent des variables primaires
de la solution. Le système déquations final ne contient que les déplacements nodaux et les
coefficients dintensité de contraintes.
Finalement, une méthode des éléments naturels étendue (XNEM) est proposée dans laquelle la
fissure est représentée par une ligne indépendante des noeuds ou des côtés des cellules de Voronoi.
La discrétisation utilisée en domaine élastique linéaire est enrichie par des fonctions de Heaviside
qui autorisent une discontinuité des déplacements au niveau de la fissure.
Dans les cellules contenant une pointe de fissure, les contraintes et les déformations sont aussi
enrichies par des termes additionnels correspondant aux solutions de la LEFM pour les modes 1 et
2.
Ici aussi, les coefficients dintensité de contraintes constituent des variables primaires de la
solution.
Une série dapplications numériques sont réalisées afin dévaluer ces développements.
Les conclusions suivantes peuvent être tirées. Elles sappliquent à tous les cas (élastique linéaire,
non linéaire, mécanique de la rupture) :
En labsence de force volumique, le calcul numérique dintégrales sur laire du domaine
est évité : seules sont nécessaires des intégrales numériques sur les côtés des cellules de
Voronoi. Lutilisation de 2 points de Gauss suffit pour passer le patch test.
Les dérivées des fonctions dinterpolation nodales ne sont pas nécessaires dans cette
formulation.
La formulation passe le patch test.
Les problèmes impliquant des matériaux quasi incompressibles sont résolus sans
verrouillage.
Les applications numériques montrent que les solutions fournies par lapproche
développée convergent vers les solutions exactes et se comparent favorablement avec
celles de la méthode des éléments finis.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:BICfB/oai:ETDULg:ULgetd-08262010-133538 |
| Date | 02 July 2010 |
| Creators | Li, Xiang |
| Contributors | Zong, Zhi, Yang, Haitian, Cescotto, Serge, Degée, Hervé, Kang, Zhan, Li, Xikui, Noels, Ludovic, Ponthot, Jean-Philippe, Guo, Xu, Habraken, Anne-Marie |
| Publisher | Universite de Liege |
| Source Sets | Bibliothèque interuniversitaire de la Communauté française de Belgique |
| Detected Language | French |
| Type | text |
| Format | application/pdf |
| Source | http://bictel.ulg.ac.be/ETD-db/collection/available/ULgetd-08262010-133538/ |
| Rights | unrestricted, Le contrat BICTEL/e complété et signé a été remis au gestionnaire facultaire. |
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