En algèbre de dimension 2, les 2-groupes symétriques (groupoïdes monoïdaux symétriques où tout objet a un inverse à isomorphisme près) jouent un rôle similaire à celui des groupes abéliens en algèbre de dimension 1. Le but de ce travail est de définir une notion de catégorie abélienne en dimension 2 qui soit aux 2-groupes symétriques ce que la notion de catégorie abélienne ordinaire est aux groupes abéliens. On donnera deux solutions à ce problème.
La première, les catégories enrichies dans les groupoïdes abéliennes, est une généralisation des catégories abéliennes ordinaires. Dans un tel contexte, on peut développer la théorie des suites exactes et de l'homologie d'une façon proche de l'homologie dans une catégorie abélienne : on y démontre plusieurs lemmes de diagrammes classiques ainsi que l'existence de la longue suite exacte d'homologie associée à une extension de complexes de chaînes. Cela généralise des résultats connus pour les 2-groupes symétriques.
L'autre solution, les catégories enrichies dans les groupoïdes 2-abéliennes (qui sont également abéliennes au sens du paragraphe précédent), imite les propriétés des 2-groupes symétriques plus spécifiques à la dimension 2, en particulier l'existence de deux systèmes de factorisation : surjectif/plein et fidèle, et plein et surjectif/fidèle. De plus, dans une catégorie enrichie dans les groupoïdes 2-abélienne, la catégorie des objets discrets est équivalente à celle des objets connexes et ces catégories sont abéliennes.
Les exemples incluent, outre les 2-groupes symétriques, les 2-modules sur un 2-anneau, qui forment une catégorie enrichie dans les groupoïdes 2-abélienne. Par ailleurs, les groupoïdes internes, foncteurs internes et transformations naturelles internes à une catégorie abélienne (et, en particulier, les 2-espaces vectoriels au sens de Baez-Crans) forment une catégorie enrichie dans les groupoïdes 2-abélienne si et seulement si l'axiome du choix est satisfait dans la catégorie abélienne.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:BICfB/oai:ucl.ac.be:ETDUCL:BelnUcetd-06112008-231800 |
| Date | 30 June 2008 |
| Creators | Dupont, Mathieu |
| Publisher | Universite catholique de Louvain |
| Source Sets | Bibliothèque interuniversitaire de la Communauté française de Belgique |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | text |
| Format | application/pdf |
| Source | http://edoc.bib.ucl.ac.be:81/ETD-db/collection/available/BelnUcetd-06112008-231800/ |
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