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O teorema da aplicação de Riemann: uma prova livre de integração / The Riemann mapping theorem: an integration free proof

Neste trabalho, seguindo a abordagem de Weierstrass, temos o objetivo de responder a seguinte questão: conhecida a equivalência entre holomorfia e analiticidade no caso complexo, quais propriedades das funções analíticas podem ser obtidas sem assumir tal equivalência? Analisando esta situação, resultados interessantes serão obtidos sem o uso de qualquer teorema de integração complexa e, para alcançar tal objetivo, nossas principais ferramentas serão a teoria de somas não ordenadas de famílias em C e propriedades do índice de caminhos fechados. Entre os resultados apresentados estão os conhecidos Teorema Fundamental da Álgebra, Lema de Schwarz, Teorema de Montel, Teorema da Série Dupla de Weierstrass, Princípio do Argumento, Teorema de Rouché, Teorema da Fatoração de Weierstrass, Pequeno Teorema de Picard e o Teorema da Aplicação de Riemann. / In this work, following the Weierstrass\'s approach, we aim to answer the following question: knowing the equivalence between holomorphy and analyticity in the complex case, which properties of analytic functions can be obtained without assuming such equivalence? Through analyzing this situation, interesting results will be obtained without employing of any complex integration theorem and in order to achieve this goal, our main tools will be the theory of unordered sums in C and properties of winding numbers of closed paths. Among the proven results are the well known Fundamental Theorem of Algebra, Schwarz\'s Lemma, Montel\'s Theorem, Weierstrass\'s Double Series Theorem, Argument Principle, Rouché\'s Theorem, Weierstrass\'s Factorization Theorem, Picard\'s Little Theorem and the Riemann\'s Mapping Theorem.

Identiferoai:union.ndltd.org:IBICT/oai:teses.usp.br:tde-13122017-161946
Date08 April 2016
CreatorsJéssica Laís Calado de Barros
ContributorsOswaldo Rio Branco de Oliveira, Paulo Agozzini Martin, Ernandes Rocha de Oliveira
PublisherUniversidade de São Paulo, Matemática, USP, BR
Source SetsIBICT Brazilian ETDs
LanguagePortuguese
Detected LanguageEnglish
Typeinfo:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis
Sourcereponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP, instname:Universidade de São Paulo, instacron:USP
Rightsinfo:eu-repo/semantics/openAccess

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