Cette thèse s'articule autour de la formalisation de mathématiques dans l'assistant à la preuve Coq dans le but de vérifier des méthodes numériques. Plus précisément, elle se concentre sur la formalisation de concepts qui apparaissent dans la résolution des systèmes d'équations linéaires et non-linéaires. <p> Dans ce cadre, on a analysé la méthode de Newton, couramment utilisée pour approcher les solutions d'une équation ou d'un système d'équations. Le but a été de formaliser le théorème de Kantorovitch qui montre la convergence de la méthode de Newton vers une solution, l'unicité de la solution dans un voisinage, la vitesse de convergence et la stabilité locale de la méthode. L'étude de ce théorème a nécessité la formalisation de concepts d'analyse multivariée. En se basant sur ces résultats classiques sur la méthode de Newton, on a montré qu'arrondir à chaque étape préserve la convergence de la méthode, avec une corrélation bien déterminée entre la précision des données d'entrée et celle du résultat. Dans un travail commun avec Nicolas Julien nous avons aussi formellement étudié les calculs avec la méthode de Newton effectués dans le cadre d'une bibliothèque d'arithmétique réelle exacte. <p> Pour les systèmes linéaires d'équations, on s'est intéressé aux systèmes qui ont une matrice associée à coefficients intervalles. Pour résoudre de tels systèmes, un problème important qui se pose est de savoir si la matrice associée est régulière. On a fourni la vérification formelle d'une collection de critères de régularité pour les matrices d'intervalles.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00555158 |
| Date | 23 November 2010 |
| Creators | Pasca, Ioana |
| Publisher | Université de Nice Sophia-Antipolis |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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