Die Fragestellung der Arbeit geht aus einem matriziellen Potenzmomentenproblem des folgenden Typs hervor: Für eine vorgegebene endliche Folge s0,...sm von q × q-Matrizen sind alle nicht-negativen Hermiteschen q × q-Maße σ auf Ω zu bestimmen, deren j-tes Moment für alle j=0,...,m-1 genau sj ist und deren m-tes Moment nichtnegativ hermitesch ist.
Hier behandeln wir den Stieltjes-Fall Ω = [α, ∞) dieser Problemstellung.
Die Lösungen dieses matriziellen Momentenproblems lassen sich in eindeutiger Weise mit gewissen holomorphen Matrixfunktionen, ihren sogenannten Stieltjes-Transformierten, identifizieren. Das Ziel der Betrachtungen dieser Arbeit ist, die Menge aller Werte zu charakterisieren, welche diese Stieltjes-Transformierten bei Auswertung in einem fixierten Punkt aus der oberen komplexen Halbebene annehmen können.
Da sich jede Lösung eines Stieltjes-Momentenproblems so fortsetzen lässt, dass sie ein entsprechendes Hamburger-Momentenproblem löst, ist erwartbar, dass die Menge der Werte aller Stieltjes-Transformierten der Lösungen des Stieltjes-Momentenproblems in einem festen Punkt eine Teilmenge der Menge der Werte aller Stieltjes-Transformierten der Lösungen des Hamburger-Momentenproblems ist.
An dieser Bemerkung anknüpfend besteht der Ansatz nun darin, das betrachtete Stieltjes-Momentenproblem auf zwei Momentenprobleme vom Hamburger-Typ zurückzuführen.
Das erste der beiden ergibt sich auf natürliche Weise wie oben beschrieben. Das zweite ist einer Modifikation der vorgeschriebenen Datenfolge zuzuordnen, welche die linke Intervalgrenze des Integrationsgebiets [α, ∞) berücksichtigt.
Die Menge der Werte, die von Stieltjes-Transformierten der Lösungen eines betrachteten Hamburger-Momentenproblems in einem festen Punkt angenommen werden können, stimmt mit einer Matrix-Kreisscheibe überein, deren Mittelpunkt, linker und rechter Halbradius explizit anhand der gegebenen Datenfolge ausgedrückt werden können.
Ordnet man nun jedem der beiden Hamburger-Momentenprobleme, auf die das Stieltjes-Problem zurückgeführt wurde, die entsprechende Matrix-Kreisscheibe zu, so erhält man, dass die Menge, die zu charakterisieren unser Ziel ist, wie zu erwarten im Schnitt dieser beiden Matrix-Kreisscheiben liegt.
Darüber hinaus zeigt sich, dass die Menge diesen Schnitt sogar ausfüllt. Der Beweis dieser Teilmengenbeziehung ist aufwendiger als die erste Richtung.
Eine zentrale Rolle im Beweis nehmen gewisse Polynomsysteme mit Orthogonaleigenschaften ein.
Bei der im Zentrum der Arbeit stehenden Untersuchung wurde ein Wert aus der oberen komplexen Halbebene fixiert, in welchem dann die Stieltjes-Transformierten der Lösungen eines Stieltjes-Problems ausgewertet wurden. Die analoge Fragestellung für die Wahl eines Punktes in (−∞, α) wurde zuvor mit unterschiedlichen Voraussetzungen in verschiedener Literatur behandelt. Der Fall, dass der Punkt in der unteren komplexen Halbebene liegen soll, lässt
sich über ein Spiegelungsprinzip auf den Fall der oberen komplexen Halbebene zurückführen, womit dann alle Möglichkeiten, den Punkt zu fixieren, abgedeckt sind.:1. Introduction
2. Preliminaries and Notation
3. Special Classes of Matrix-Valued Functions
3.1. The Class Rq(Π+) of Matrix-Valued Herglotz-Nevanlinna Functions
3.2. Particular Subclasses of Rq(Π+)
3.3. Matrix-Valued Stieltjes Functions
4. Parameterization of Block Hankel Matrices and Related Sequences
of Complex Matrices
4.1. The Sequence of H-parameters
4.2. The α-Stieltjes Parameterization
4.3. The α-Schur Transform
5. Some Considerations on Particular Matrix Polynomials
6. Special Rational Matrix-Valued Functions
7. Description of the Values of the Solutions of the Truncated Matricial
Hamburger Moment Problem and Corresponding Matrix Balls
8. Pairs of Meromorphic Matrix-Valued Functions
8.1. Nevanlinna Pairs in Π+
8.2. Nevanlinna Pairs in C \ R
8.3. Stieltjes Pairs in C \ [α, ∞)
9. A Special Quadruple of Matrix Polynomials
10. Further Identities for Matrix Polynomials
11. The [α, ∞)-Quadruple of Matrix Polynomials
12. Description of the Values of the Solutions of the Truncated Matricial
Stieltjes Moment Problem and Corresponding Matrix Balls
12.1. First Discussion of the Corresponding Matrix Balls
12.2. Representation in the Case of an Odd Number of Prescribed Matricial
Moments
12.2.1. Representation in the Case (sj )0j=0 of a Single Prescribed Matricial
Moment
12.2.2. Explicit Connections
12.2.3. Representation as Intersection of two Matrix Balls
12.3. Representation in the Case of an Even Number of Prescribed Matricial
Moments
13. Summary and Prospects
A. Some Facts on Matrix Theory
B. Some Facts on Orthogonal Projection Matrices
C. Some Facts on the Integration Theory of Non-negative Hermitian
Measures
Nomenclature
| Identifer | oai:union.ndltd.org:DRESDEN/oai:qucosa:de:qucosa:77498 |
| Date | 21 January 2022 |
| Creators | Wall, Michaela |
| Contributors | Universität Leipzig |
| Source Sets | Hochschulschriftenserver (HSSS) der SLUB Dresden |
| Language | English |
| Detected Language | German |
| Type | info:eu-repo/semantics/acceptedVersion, doc-type:doctoralThesis, info:eu-repo/semantics/doctoralThesis, doc-type:Text |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
Page generated in 0.0028 seconds