Während das lokale Verhalten von geodätischen Kurven in Riemannschen Mannigfaltigkeiten gut verstanden ist, ist es wesentlich schwieriger das globale Verhalten dieser Kurven zu untersuchen. Die vorliegende Dissertation greift daher zwei Themen heraus, in denen globale Eigenschaften von Geodätischen mit Invarianten Riemannscher Mannigfaltigkeiten in Verbindung gebracht werden.
Zum Einen wird das Koprodukt der String-Topologie untersucht. Diese auf der Homologie des freien Schleifenraumes einer geschlossenen Mannigfaltigkeit definierte Abbildung kann geometrisch verstanden werden als Operation, welche Schleifen mit Selbstschnitten in zwei Teile zerschneidet. In der vorliegenden Dissertation wird gezeigt, dass das nicht-triviale Verhalten einer Iteration des Koprodukts genutzt werden kann um die Multiplizitäten bestimmter geschlossener Geodätischer abzuschätzen. Zudem wird das Koprodukt für bestimmte Klassen von Mannigfaltigkeiten untersucht. Der freie Schleifenraum einer Lie-Gruppe ist homömorph zum Produkt der Gruppe mit ihrem Schleifenraum bezüglich eines Punktes. Dies induziert einen Isomorphismus in Homologie und es wird gezeigt, dass sich das Koprodukt unter diesem Isomorphismus gut verhält. Durch das Nutzen expliziter Zykel kann man zudem sehen, dass das Koprodukt für kompakte, einfach zusammenhängende Lie-Gruppen von höherem Rang trivial ist. Anschließend wird das Koprodukt für den komplexen und den quaternionisch projektiven Raum berechnet. Hierfür werden wieder explizite Zykel genutzt, auf die das Koprodukt in gewisser Weise zurückgezogen werden kann.
Im zweiten Teil der Dissertation wird die geodätische Komplexität einer vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeit untersucht. Die geodätische Komplexität ist eine ganzzahlige Isometrie-Invariante von vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten, welche man als Abstraktion des Problems der geodätischen Bewegungsplanung verstehen kann. Es stellt sich heraus, dass die geodätische Komplexität stark vom Schnittort einer vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeit abhängt. In der vorliegenden Dissertation wird die Struktur des Schnittorts von homogenen Riemannschen Mannigfaltigkeiten genutzt um eine obere Schranke an die geodätische Komplexität solcher Räume zu erhalten. Diese Abschätzung liefert insbesondere für Lie-Gruppen gute Resultate und kann genutzt werden um die geodätische Komplexität von zweidimensionalen flachen Tori und von Berger-Sphären zu bestimmen. Eine andere obere Schranke für die geodätische Komplexität erhält man durch das Betrachten von sogenannten gefaserten Zerlegungen des Schnittorts. In der vorliegenden Dissertation werden diese Zerlegungen eingeführt und es wird gezeigt, dass die Schnittorte aller kompakten irreduziblen einfach zusammenhängenden symmetrischen Räume solch eine Zerlegung zulassen. Dieses Resultat kann dann genutzt werden um eine Abschätzung der geodätischen Komplexität dieser Räume zu erhalten.
Insbesondere kann die geodätische Komplexität vom komplexen und vom quaternionisch projektiven Raum bestimmt werden.
Dieser zweite Teil der Dissertation geht aus einem gemeinsamen Projekt mit Stephan Mescher hervor. / While the local behavior of geodesics in Riemannaian manifolds is well understood, it is much harder to study the global behavior of such curves. In this thesis we study two problems which connect global properties of geodesics to invariants of Riemannian manifolds.
Firstly, we study the string topology coproduct. This is a map on the homology of the free loop space of a closed manifold and can be understood as an operation that cuts loops with self-intersections into two parts. It is shown in the thesis that the non-trivial behavior of an iterate of the coproduct can be used to estimate the multiplicity of certain closed geodesics. Furthermore, we study the coproduct for particular classes of manifolds. The free loop space of a Lie group is homeomorphic to the product of the group with its based loop space. This induces an isomorphism in homology and we show that the coproduct behaves well with respect to this isomorphism. By considering explicit cycles one can show that the string topology coproduct is trivial for compact simply connected Lie groups of higher rank. Moreover, the string topology coproduct is computed explicitly for complex and quaternionic projective space again by using certain explicit cycles.
In the second part of the thesis we study the geodesic complexity of complete Riemannian manifolds. Geodesic complexity is a numerical isometry invariant of complete Riemannian manifolds and can be understood as an abstraction of the geodesic motion planning problem. It turns out that the geodesic complexity of a complete Riemannian manifold highly depends on the cut locus of that manifold. We use the structure of the cut loci of homogeneous Riemannian manifolds to obtain an upper bound on the geodesic complexity of these spaces. This bound turns out to work very well for Lie groups and we use it to compute the geodesic complexity of flat two-dimensional tori and of Berger spheres. Another upper bound on geodesic complexity can be obtained by considering fibered decompositions of the total cut locus. In this thesis we introduce the concept of a fibered decomposition and show that the cut loci of compact irreducible simply connected symmetric spaces admit such decompositions. This result can then be used to prove an upper bound on the geodesic complexity of these spaces. In particular we determine the geodesic complexity of complex and quaternionic projective space.
This second part of the thesis is based on joint work with Stephan Mescher.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:DRESDEN/oai:qucosa:de:qucosa:82992 |
| Date | 19 January 2023 |
| Creators | Stegemeyer, Maximilian |
| Contributors | Universität Leipzig |
| Source Sets | Hochschulschriftenserver (HSSS) der SLUB Dresden |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, doc-type:doctoralThesis, info:eu-repo/semantics/doctoralThesis, doc-type:Text |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
| Relation | 10.4310/hha.2022.v24.n2.a17, 10.1007/s41468-022-00107-4 |
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