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Previous issue date: 2016-08-26 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / We will do here a theoretical study of the Discrete Fourier Transform on the finite
circle ℤ/nℤ. Our main objective is to see if we can get properties analogous to
those found in the Fourier transform for the continuous case. In this work we show
that ℤ/nℤ has a ring structure, providing conditions for the development of extensively
discussed topics in arithmetic, for example, The Chinese Remainder Theorem,
Euler’s Phi Function and primitive roots, themes these to be dealt with in first
chapter. The main subject of this study is developed in the second chapter, which
define the space L2(ℤ/nℤ) and prove that this is a finite-dimensional inner product
vector space, with an orthonormal basis. This fact is of utmost importance when we
are determining the matrix and demonstrating the properties of the discrete Fourier
transform. We will also make geometric interpretations of the Chinese Remainder
Theorem and the finite circle ℤ/nℤ as well as give a graphical representation of the
DFT of some functions that calculate. During the development of this study we
will make recurrent use of definitions and results treated in Arithmetic, Algebra and
Linear Algebra. / Faremos, aqui, um estudo teórico sobre a Transformada Discreta de Fourier no círculo
finito ℤ/nℤ. Nosso principal objetivo é verificar se podemos obter propriedades
análogas às encontradas nas transformadas de Fourier para o caso contínuo. Nesse
trabalho mostraremos que ℤ/nℤ tem uma estrutura de anel, dando condições para
o desenvolvimento de temas bastante discutidos na Aritmética como, por exemplo,
o Teorema Chinês do Resto, função Phi de Euler e raízes primitivas, temas estes que
serão tratados no primeiro capítulo. O assunto principal desse estudo é desenvolvido
no segundo capítulo, onde definiremos o espaço L2(ℤ/nℤ) e provaremos que este é
um espaço vetorial com produto interno, dimensão finita e uma base ortonormal.
Tal fato será de extrema importância quando estivermos determinando a matriz e
demonstrando as propriedades da transformada discreta de Fourier. Também faremos
interpretações geométricas do Teorema Chinês do Resto e do círculo finito
ℤ/nℤ assim como daremos a representação gráfica da DFT de algumas funções que
calcularemos. Durante o desenvolvimento desse estudo faremos uso recorrente de
definições e resultados tratados na Aritmética, Álgebra e Álgebra Linear.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:tede.biblioteca.ufpb.br:tede/9429 |
| Date | 26 August 2016 |
| Creators | Farias Filho, Antonio Pereira de |
| Contributors | Caro Tuesta, Napoleón |
| Publisher | Universidade Federal da Paraíba, Mestrado Profissional em Matemática, UFPB, Brasil, Matemática |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Format | application/pdf |
| Source | reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFPB, instname:Universidade Federal da Paraíba, instacron:UFPB |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
| Relation | -7971561403159605022, 600, 600, 600, 600, -78633126427147401, 8398970785179857790, 2075167498588264571 |
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