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Blow-up de soluções positivas de equações semilineares / Blow-up of solutions of the semilinear equations

Considere o problema de valor inicial e de fronteira \'u IND.t\'= \'delta\'u + f(u) em \'ômega\' x (0, T), u(x, 0) = \'fi\'(x) se x \'PERTENCE A\' \'ômega\', u(x, t) = 0 se x \'PERTENCE A\' \'delta\' \'ômega\', 0 < t < T, onde ­\'ômega\' é um domínio limitado em \'R POT.n\'com bordo \'C POT.2\', f é continuamente diferenciável com f(s) > 0, e \'fi\' é não-negativa e suave sobre \'ômega\'\'BARRA\' com \'fi\'=0 sobre \'delta\'\'ômega\'. Suponha que a única solução u(x,t) possui blow-up em tempo finito T < \'INFINITO\'. A questão que se coloca é: onde ocorre o blow-up? Neste trabalho provamos que: se \'ômega\'=\'B IND.R\'\'ESTÁ CONTIDO EM\'\'R POT. n\', então o blow-up ocorre apenas em r=0, Além disso, se f(u)=\'u POT.p\'p > 1, então u(r,t)\'< OU = \'C/\'r POT.2\'(\'gama\'-1) para qualquer 1 < \'gama\'< p, e assim \'limsup IND. t\'SETA\'T\'-||u(u.\'t)||q < \'INFINITO\'se q < n(p-1)/2. No caso não simétrico onde \'ômega\' é um domínio complexo, provamos que conjunto de blow-up é um subconjunto compacto de \'ômega\'. Se f(u)=\'u POT.p\', p > 1, então u(x,t)\'< OU = \'C/\'(T-t) POT. 1/p-1\' e, se n=1,2 ou se n\'< OU=\'3 p\'< OU=\'(n+2)/(n-2), então \'tau\'POT. \'beta\'u(x+\'Ksi\', T-\'tau\'\'SETA\'\'C IND. 0\' quando \'tau\'\'SETA\'\'0 POT. 1/2\'e \'C IND. 0\'= \'beta\'POT.\'beta\'\'onde \'beta\'= \'(p-1) POT. -1\'. As provas das estimativas essenciais para demonstração desses resultados são feitas utilizando o Princípio do Máximo / Consider the initial-boundary value problem \'u IND.t\'= \'delta\'u + f(u) in \'ômega\' x (0, T), u(x, 0) = \'fi\'(x) if x \'BELONGS\' \'ômega\', u(x, t) = 0 if x \'BELONGS \' \'\\PARTIAL\' \'ômega\', 0 < t < T, where ­\'ômega\' is a bounded domain in \'R POT.n\'with \'C POT.2\', f is continuously differentiable with f(s) > 0, and \'fi\' is nonnegative and smooth on \'ômega\'\'BARRA\' with \'fi\'=0 on \'\\PARTIIAL\'\'ômega\'. Assume that the unique solution u(x,t) blows up in finite time T < \'INFINITO\'. The question addressed is: where does the blow-up occur? In this work we prove: if \'ômega\'=\'B IND.R\'\'IS CONTAINED EM\'\'R POT. n\', then blow-up occurs only at r=0, Moreover, if f(u)=\'u POT.p\'p > 1, then u(r,t)\'< OU = \'C/\'r POT.2\'(\'gama\'-1) for any 1 < \'gama\'< p, and hence \'limsup IND. t\'SETA\'T\'-||u(u.\'t)||q < \'INFINITO\'se q < n(p-1)/2. In the nonsymmetric case where \'ômega\' is a convex domain, we prove that the blow-up set lies in a compact subset of \'ômega\'. If f(u)=\'u POT.p\', p > 1, then u(x,t)\'< OU = \'C/\'(T-t) POT. 1/p-1\' and, if n=1,2 or if n\'< OU=\'3 and p\'< OU=\'(n+2)/(n-2), then \'tau\'POT. \'beta\'u(x+\'Ksi\', T-\'tau\'\'SETA\'\'C IND. 0\' where \'tau\'\'SETA\'\'0 POT. 1/2\'e \'C IND. 0\'= \'beta\'POT.\'beta\'\'where \'beta\'= \'(p-1) POT. -1\'. Elementary applications of the Maximum Principle are used to prove the essential estimate for the proofs of these results.

Identiferoai:union.ndltd.org:IBICT/oai:teses.usp.br:tde-23022007-103210
Date31 March 2006
CreatorsFernanda Tomé Alves
ContributorsAlexandre Nolasco de Carvalho, Olimpio Hiroshi Miyagaki, Sérgio Henrique Monari Soares
PublisherUniversidade de São Paulo, Matemática, USP, BR
Source SetsIBICT Brazilian ETDs
LanguagePortuguese
Detected LanguageEnglish
Typeinfo:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis
Sourcereponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP, instname:Universidade de São Paulo, instacron:USP
Rightsinfo:eu-repo/semantics/openAccess

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