Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico / Optimal Control Problems (OCP), also known as Dynamic Optimization Problems,
consist of an Objective Function to be maximized or minimized, associated with a set of
differential and algebraic equations which include equality and inequality constraints
in the state or control variables and characterize a system of Differential-Algebraic
Equations (DAE). The differential-algebraic approach of numerical solution widely
used in process simulation due the guarantee of attendance of the implicit algebraic
constraints in the original formulation and the elimination of the necessary manipulations
to transform the original problem into a purely differential system,was extended to
OCP characterizing the called Differential-Algebraic Optimal Control Problem (DAOCP).
A category of DAOCP of special interest includes inequality constraints, due
the necessity of previous knowledge of the activations and deactivations sequence of
these constraints along the trajectory and also of the instants where they occur, named
Events.
This DAOCPs with inequality constraints is equivalent to a class of hybrid dynamic
optimization problems, where continuous and discrete behaviors are associated (FEEHERY,
1998). A particular type of hybrid OCP is that one where continuous state
does not present jumps in the Events, called Switched OCP, for which Xu e Antsaklis
(2004) considers a solution methodology based on the parameterization of Events with
a previous specification of active subsystems sequence, resulting in the solution of a
two-point boundary value differential-algebraic problem, formed by the state, co-state
and stationarity equations, boundary and continuity conditions and its differentiations,
called sensitivity equations.
In this work, this indirect approach for Switched OCP was extended for DAOCP with
inequality constraints, with the objective to estimate the Events, along the control,
state and adjoint variables. The developed approach for Switched OCP described by
Xu e Antsaklis (2004) was implemented in a specific code using Maple 9.5, called
EVENTS, with the objective to symbolically generate the equations based on the parameterization
of Events. This code was incorporated in a interface named OpCol, that collect characterization tools of DAE systems and generation of the optimality
conditions extended Pontryagin s Principle for PCOAD of different types. The characterization
tools are the INDEX of Murata (1996) that symbolically identifies the
index, the resolubility and the consistency of initial conditions and the ACIG of Cunha
e Murata (1999) that implements the Gear s algorithm for the index reduction and the
index 1 equivalent system generation. The OTIMA (GOMES, 2000; LOBATO, 2004) generates
the Euler-Lagrange equations for DAOCP. These tools had been implemented
initially in different versions of Maple and all had been update to 9.5 version using the
Maplets package that allows the data entry through interactive windows with the user,
demanding a little knowledge of the Maple syntax. The OpCol interface was tested for
four cases and for each tool a example data bank with typical problems of literature
was created to assist the user in its use. Moreover, the direct method implemented in
DIRCOL code was extended for multi-phases formulation with estimates of Events and
the indirect method with Events Parameterization and differential-algebraic approach
implemented in a Matlab code had been used for the numerical solution of three cases:
a switched OCP and 2 DAOCP of batch reactors where the control variable is the feed
rate of the component B - the first one has parallel reactions and selectivity constraints
with 3 phases of index 1, 3 and 1 and the second a safety constraint with 2 phases of
index 2 and 1 respectively and had been described by Srinivasan et al. (2003). The
methodology used by this authors was applied to attained analytical expressions for
the control variable in each phase necessary in indirect method, composing the called
Switching Functions, from the optimality conditions based in the Pontryagin s Principle
- specifically from the stationarity condition and the active constraint identification
that will allow the control variable determination - and of the physical analysis of the
problem in order to discard not appropriate activations/deactivations sequences.
The results obtained by indirect and direct methods are compared for the 3 cited problems,
showing the viability as much of the multiphase formulation using the DIRCOL
and also the satisfactory performance of the indirect method with estimates of Events,
beyond the utility of the tools of characterization of EADs, of attainment of optimality
conditions and parameterization of Events available in Opcol interface. / Os Problemas de Controle Ótimo, também chamados Problemas de Otimização Dinâmica,
são formados por uma Função Objetivo a ser maximizada ou minimizada, associada
a conjuntos de equações algébricas e diferenciais que incluem restrições de igualdade
e de desigualdade nas variáveis de estado e de controle que caracterizam um sistema
de Equações Algébrico-Diferenciais (EADs). A extensão do ponto de vista algébricodiferencial
de solução numérica aos PCOs, já amplamente utilizado na simulação de
processos devido à garantia de atendimento às restrições algébricas originais e implícitas
na formulação e à eliminação das manipulações necessárias para transformar o
problema original num sistema de equações puramente diferenciais, caracteriza o chamado
Problema de Controle Ótimo Algébrico-Diferencial (PCOAD). Uma categoria
de PCOAD de especial interesse é a dos que incluem restrições de desigualdade, devido
à necessidade de conhecimento prévio da seqüência de ativações e desativações destas
restrições ao longo da trajetória e também dos instantes em que elas ocorrem, chamados
Eventos. As ativações/desativações das restrições causam flutuações no índice
diferencial e no número de graus de liberdade dinâmicos do PCOAD, exigindo técnicas
especiais de redução deste índice até um e o emprego de métodos numéricos eficientes
que garantam a convergência e estabilidade da solução.
Estes PCOADs com restrições de desigualdade são equivalentes a uma classe de problemas
de otimização dinâmica híbridos, que associam comportamentos contínuos e
discretos (FEEHERY, 1998). Um tipo particular de PCO híbrido é aquele cujo estado
contínuo não apresenta saltos nos Eventos, chamado PCO Chaveado, para o qual Xu
e Antsaklis (2004) propõem uma metodologia de solução baseada na parametrização
dos Eventos com a especificação prévia da seqüência de subsistemas ativos, resultando
na solução de um problema de valor no contorno algébrico-diferencial em dois pontos,
formado pelas equações de estado, co-estado e de estacionariedade, condições de contorno
e de continuidade e suas diferenciações, chamadas equações de sensibilidade.
Neste trabalho, esta abordagem indireta empregada para PCO Chaveados foi estendida
para PCOAD com restrições de desigualdade, com o objetivo de estimar também os Eventos, além das variáveis de controle, de estado e adjuntas. A abordagem desenvolvida
por Xu e Antsaklis (2004) para PCO Chaveados foi implementada num
código específico utilizando o Maple 9.5, chamado EVENTS, com o objetivo de gerar
simbolicamente as equações baseadas na parametrização dos Eventos. Este código foi
incorporado a uma interface chamada OpCol, que reúne ferramentas de caracterização
de sistemas de EAD e de geração das condições de otimalidade segundo o Princípio
de Pontryagin estendidas para PCOAD de diferentes classes. As ferramentas de caracterização
são o INDEX de Murata (1996) que identifica simbolicamente o índice,
a resolubilidade e a consistência das condições iniciais e o ACIG de Cunha e Murata
(1999) que implementa o algoritmo de Gear para a redução do índice e geração do
sistema equivalente de índice 1. O OTIMA (GOMES, 2000; LOBATO, 2004) gera as
equações de Euler-Lagrange para PCOAD. Estas ferramentas foram inicialmente implementadas
em diferentes versões do Maple e todas foram atualizadas para a versão
9.5 utilizando o pacote Maplets que permite a entrada de dados através de janelas
interativas com o usuário, exigindo dele pouco conhecimento da sintaxe Maple. A
interface OpCol foi testada para quatro casos e para cada ferramenta foi criado um
banco de exemplos com problemas típicos da literatura que auxiliam o usuário na sua
utilização. Além disto, o método direto implementado no código DIRCOL estendido
para formulações multifásicas com estimativa dos Eventos e o método indireto com
Parametrização dos Eventos e abordagem algébrico-diferencial implementado num código
MATLAB foram utilizados na solução numérica de três estudos de casos: um
PCO chaveado e 2 PCOAD de reatores batelada onde a variável de controle é a taxa
de alimentação do componente B: o primeiro tem reações paralelas e restrições de
seletividade com 3 fases de índices 1, 3 e 1 e o segundo restrições de segurança com 2
fases de índices 2 e 1 e respectivamente e foram descritos por Srinivasan et al. (2003).
A mesma metodologia utilizada por estes autores foi empregada na obtenção de expressões
analíticas para a variável de controle em cada fase necessárias no método
indireto, compondo as chamadas Funções Identificadoras de Fase (FIF), a partir das
condições de otimalidade baseadas no Princípio de Pontryagin - especificamente a partir
da condição de estacionariedade e da identificação da restrição ativa que permitirá
a determinação da variável de controle - e da análise física do problema de modo a
descartar seqüências de ativação/desativação não apropriadas.
Os resultados obtidos pelo método indireto e pelo método direto são comparados entre
si para os 3 problemas citados, mostrando a viabilidade tanto da formulação multifásica
empregando o DIRCOL quanto o desempenho satisfatório do método indireto
com estimativa de Eventos, além da utilidade das ferramentas de caracterização de
EADs, de obtenção das condições de otimalidade e de parametrização dos eventos
disponibilizadas na interface Opcol. / Mestre em Engenharia Química
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/urn:repox.ist.utl.pt:RI_UFU:oai:repositorio.ufu.br:123456789/15257 |
| Date | 07 March 2007 |
| Creators | Pfeifer, Adriene Artiaga |
| Contributors | Murata, Valeria Viana, Assis, Adilson José de, Odloak, Darci, Lopes, Luís Cláudio Oliveira |
| Publisher | Universidade Federal de Uberlândia, Programa de Pós-graduação em Engenharia Química, UFU, BR, Engenharias |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | Portuguese |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Format | application/pdf |
| Source | reponame:Repositório Institucional da UFU, instname:Universidade Federal de Uberlândia, instacron:UFU |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
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