Cette thèse a pour but d'élaborer et d'étudier des modèles mathématiques reproduisant
le comportement de systèmes composés de plusieurs éléments dont les interactions
forment un réseau complexe. Le corps du document est découpé en trois parties ; un
chapitre introductif et une conclusion récapitulative complétent la thèse.
La partie I s'intéresse à une dynamique spécifique (propagation de type susceptibleinfectieux-
retiré, SIR) sur une classe de réseaux également spécifique (modèle de configuration).
Ce problème a entre autres déjà été étudié comme un processus de branchement
dans la limite où la taille du système est infinie, fournissant une solution probabiliste
pour l'état final de ce processus stochastique. La principale contribution originale de
la partie I consiste à modifier ce modèle afin d'introduire des éffets dûs à la taille finie
du système et de permettre l'étude de son évolution temporelle (temps discret) tout en
préservant la nature probabiliste de la solution.
La partie II, contenant les principales contributions originales de cette thèse, s'intéresse
aux processus stochastiques sur réseaux complexes en général. L'état du système
(incluant la structure d'interaction) est partiellement représenté à l'aide de motifs, et
l'évolution temporelle (temps continu) est étudiée à l'aide d'un processus de Markov.
Malgré que l'état ne soit que partiellement représenté, des résultats satisfaisants sont
souvent possibles. Dans le cas particulier du problème étudié en partie I, les résultats
sont exacts. L'approche se révèle très générale, et de simples méthodes d'approximation
permettent d'obtenir une solution pour des cas d'une complexité appréciable.
La partie III cherche une solution analytique exacte sous forme fermée au modèle
développé en partie II pour le problème initialement étudié en partie I. Le système
est réexprimé en terme d'opérateurs et différentes relations sont utilisées afinn de tenter
de le résoudre. Malgré l'échec de cette entreprise, certains résultats méritent mention,
notamment une généralisation de la relation de Sack, un cas particulier de la relation
de Zassenhaus. / The goal of this thesis is to develop and study mathematical models reproducing
the behaviour of systems composed of numerous elements whose interactions make a
complex network structure. The body of the document is divided in three parts; an
introductory chapter and a recapitulative conclusion complete the thesis.
Part I pertains to a specific dynamics (susceptible-infectious-removed propagation,
SIR) on a class of networks that is also specific (configuration model). This problem has
already been studied, among other ways, as a branching process in the infinite system
size limit, providing a probabilistic solution for the final state of this stochastic process.
The principal original contribution of part I consists of modifying this model in order to
introduce finite-size effects and to allow the study of its (discrete) time evolution while
preserving the probabilistic nature of the solution.
Part II, containing the principal contributions of this thesis, is interested in the
general problem of stochastic processes on complex networks. The state of the system
(including the interaction structure) is partially represented through motifs, then the
(continuous) time evolution is studied with a Markov process. Although the state is
only partially represented, satisfactory results are often possible. In the particular case
of the problem studied in part I, the results are exact. The approach turns out to be
very general, and simple approximation methods allow one to obtain a solution for cases
of considerable complexity.
Part III searches for a closed form exact analytical solution to the the model developed
in part II for the problem initially studied in part I. The system is re-expressed
in terms of operators and different relations are used in an attempt to solve it. Despite
the failure of this enterprise, some results deserve mention, notably a generalization of
Sack's relationship, a special case of the Zassenhaus relationship.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LACETR/oai:collectionscanada.gc.ca:QQLA.2012/29319 |
| Date | 11 1900 |
| Creators | Noël, Pierre-André |
| Contributors | Dubé, Louis J. |
| Publisher | Université Laval |
| Source Sets | Library and Archives Canada ETDs Repository / Centre d'archives des thèses électroniques de Bibliothèque et Archives Canada |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation |
| Format | application/pdf |
| Rights | © Pierre-André Noël, 2012 |
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