L'étude du spectre des réseaux complexes est un problème riche, ayant une longue histoire et des applications dans de nombreux domaines. La densité spectrale limite d'ensembles de graphes aléatoires, en particulier, fournit une information globale importante pour la compréhension de la topologie et du comportement des modèles de réseaux souvent utilisés comme version jouet des réseaux réels. Si la densité spectrale des réseaux denses et non corrélés est en général bien comprise, celle des réseaux extrêmement creux reste un problème difficile. Bien que plusieurs propriétés de la densité spectrale des réseaux extrêmement creux aient pu être établies, une forme fermée pour celle-ci échappe toujours aux chercheurs et chercheuses. C'est à ce problème que s'attaque ce mémoire. Dans un premier temps, une méthode combinatoire pour le calcul de la densité spectrale et de ses moments est développée. Elle est ensuite appliquée au modèle d'Erdős-Rényi dense avec succès, reproduisant le résultat classique qu'est la loi du demi-cercle de Wigner. Finalement, la méthode est utilisée pour l'étude de la densité spectrale des réseaux extrêmement creux. Sont obtenus ainsi une forme fermée pour la densité spectrale des graphes réguliers aléatoires, la preuve de propriétés importantes de la densité spectrale du modèle d'Erdős-Rényi extrêmement creux, une explication de la présence de pics discontinus dans la densité, une correction pour le cœur de celle-ci, ainsi qu'une forme asymptotique pour ses extrémités conjecturée comme vraie pour tous les modèles de réseaux creux et non corrélés. Malgré tout, une forme fermée est toujours inconnue. / The study of the spectra of complex networks is a rich problem with a long history and varied applications. In particular, the limiting spectral density of random graph ensembles provides important global information on the topology and behavior of the network models often used as toy versions of real networks. Though the spectral density of dense, uncorrelated networks is generally well understood, that of extremely sparse networks remains a difficult problem. Despite the fact that many properties of the spectral density of extremely sparse networks have been established, a closed form still evades researchers. It is that problem which this thesis tackles. First, a combinatorial approach to the calculation of the spectral density and its moments is developed. It is then successfully applied to the dense Erdős-Rényi model, reproducing the classical Wigner semicircle law. Finally, the approach is employed to study the spectral density of extremely sparse networks. Results obtained this way include a closed form for the spectral density of random regular graphs, proofs of important properties of the spectral density of extremely sparse Erdős-Rényi random graphs, an explanation of the presence of discontinuous peaks in the density, a correction for its bulk and an asymptotic form for its extremities, which is conjectured to hold for all models of sparse, uncorrelated networks. However, a closed form remains unknown.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LAVAL/oai:corpus.ulaval.ca:20.500.11794/110383 |
| Date | 16 February 2023 |
| Creators | Ribordy, Olivier |
| Contributors | Allard, Antoine |
| Source Sets | Université Laval |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | COAR1_1::Texte::Thèse::Mémoire de maîtrise |
| Format | 1 ressource en ligne (ix, 62 pages), application/pdf |
| Rights | http://purl.org/coar/access_right/c_abf2 |
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