Titre de l'écran-titre (visionné le 20 novembre 2023) / Les compagnies d'assurance jouent un rôle essentiel dans la société en assurant la protection financière, la gestion des risques, la stabilité sociale et la promotion de la croissance économique. Dans ce contexte, les actuaires utilisent leur expertise en mathématiques, en statistiques et en théorie financière pour aider les particuliers, les entreprises et les organisations à prendre des décisions éclairées en matière de gestion des risques et de protection contre les pertes financières, contribuant ainsi à la stabilité et à la prospérité globales de la société. La plupart des théories de la science actuarielle commencent par la simplification d'hypothèses afin d'obtenir des expressions simples : au premier plan, l'hypothèse selon laquelle les risques du portefeuille d'une compagnie d'assurance sont indépendants et identiquement distribués. Si cette hypothèse se vérifie, on peut souvent appliquer la loi des grands nombres pour obtenir des résultats mathématiques pratiques liés à la gestion et à la tarification des risques dans le portefeuille. Cependant, la levée de cette hypothèse complique généralement ce résultat, et nous examinerons certaines de ces complications dans cette thèse. L'objectif principal de cette thèse est d'étudier les problèmes de haute dimension dans la science actuarielle, dans la modélisation de la dépendance et dans la gestion quantitative des risques. La thèse est divisée en trois parties, couvrant trois sujets sous le thème général de la science actuarielle à haute dimension. Dans la première partie, nous proposons des méthodes pour incorporer des données à haute dimension dans les modèles de tarification. Une hypothèse implicite d'un modèle de tarification actuariel est celle de l'équité actuarielle, le principe selon lequel les primes d'assurance doivent être basées sur des données statistiques et des facteurs de risque liés aux coûts totaux associés à un contrat d'assurance. En d'autres termes, l'équité actuarielle signifie que les personnes les plus susceptibles de faire une réclamation doivent payer des primes plus élevées que celles qui sont moins susceptibles de le faire. Les actuaires utilisent des modèles mathématiques et des analyses statistiques pour étudier le risque associé à différents événements, tels que les maladies, les accidents et les catastrophes naturelles. Ils utilisent ensuite ces données pour déterminer des primes qui reflètent le risque associé à chaque assuré. Une stratégie essentielle pour les assureurs consiste à écumer la crème, c'est-à-dire à choisir sélectivement d'assurer les clients présentant un faible risque de sinistre, tout en excluant ceux qui présentent un risque plus élevé ou en leur appliquant des primes plus élevées. La mise en œuvre réussie de cette stratégie nécessite un avantage concurrentiel utilisant plus de données, plus de caractéristiques ou en développant des modèles plus performants. Même si un assureur ne souhaite pas utiliser cette stratégie, il est essentiel de disposer d'un excellent modèle prédictif (aussi bon que celui du concurrent). L'introduction traite de l'intégration des données massives dans le modèle de tarification d'un assureur. Nous fournissons ensuite des implémentations spécifiques utilisant des informations de recensement externes pour la modélisation spatiale et des images de rues externes pour identifier les facteurs de risque des maisons. La deuxième partie de cette thèse comprend deux contributions à la théorie des copules. Elle est consacrée à l'obtention de nouveaux résultats sur la famille des copules de Farlie-Gumbel-Morgenstern (FGM). Cette famille de copules est très flexible puisque sa version à d-variables contient 2ᵈ − d − 1 paramètres. Cependant, une paramétrisation en haute dimension est considérée comme un inconvénient car il y a trop de paramètres à spécifier, qui sont difficiles à interpréter, et les paramètres doivent satisfaire un ensemble de contraintes fastidieuses. Construire des familles de copules FGM de haute dimension pour des applications pratiques est un défi. Notre contribution dans cette partie de la thèse est de proposer une représentation stochastique des copules FGM basée sur des distributions de Bernoulli symétriques multivariées. Nous montrons également que cette correspondance est bijective. Cette représentation, dans la plupart des cas, permet de dériver de nouvelles propriétés des copules FGM basées sur l'abondante littérature sur les distributions de Bernoulli symétriques multivariées. Nous obtenons des résultats supplémentaires utiles lorsque nous utilisons l'hypothèse additionnelle selon laquelle les composantes du vecteur aléatoire sont échangeables. Dans la troisième partie de cette thèse, nous apportons deux contributions à l'agrégation des risques, à l'allocation du capital et au partage des risques. Premièrement, nous utilisons les résultats obtenus dans la deuxième partie de la thèse pour étudier l'agrégation des risques lorsque la structure de dépendance entre les risques est une copule FGM. Nous dérivons des expressions pour les moments et la transformée de Laplace-Stieltjes de la variable aléatoire agrégée basée sur la représentation stochastique des copules FGM. Nous concevons un algorithme pour calculer la fonction de masse de probabilité du vecteur aléatoire agrégé lorsque les risques sont définis par des variables aléatoires discrètes. Lorsque les risques sont définis par des variables aléatoires continues obéissant à une distribution mélange d'Erlang, nous démontrons que la variable aléatoire agrégée est également distribuée selon une distribution mélange d'Erlang et nous développons des expressions pour les mesures de risque et les contributions au risque ex-post pour le partage des risques avec la règle de partage des risques à espérance conditionnelle. La deuxième contribution de cette partie établit un lien entre les espérances conditionnelles et les dérivés des fonctions génératrices de probabilités conjointes. Cette relation conduit à de nouvelles stratégies pour calculer les espérances conditionnelles ex-ante ou ex-post lorsque les risques sont représentés par des variables aléatoires discrètes. Nous dérivons de nouvelles expressions pour les espérances conditionnelles et développons une stratégie de calcul efficace basée sur les transformées de Fourier rapides pour calculer les espérances conditionnelles. / Insurance companies play a critical role in society by providing financial protection, risk management, social stability and promoting economic growth. Within this context, actuaries use their expertise in mathematics, statistics, and financial theory to help individuals, businesses, and organizations make informed decisions about managing risks and protecting against financial loss, contributing to society's overall stability and prosperity. Most of the theory in actuarial science starts with simplifying assumptions to obtain convenient expressions: at the forefront is that the risks in an insurance company's portfolio are independent and identically distributed. If the assumption holds, one may often apply the central limit theorem to obtain convenient mathematical results related to risk management and pricing of risks in the portfolio. However, removing this assumption typically complicates this result, and we will investigate some of these challenges in this thesis. The main objective of this thesis is to investigate high-dimensional problems in insurance mathematics, dependence modelling and quantitative risk management. The thesis is divided into three parts, covering three subjects under the general theme of high-dimensional actuarial science. In the first part, we propose methods to incorporate high-dimensional data within ratemaking models. An implicit assumption of the actuarial model is that of actuarial fairness, the principle that insurance premiums should be based on statistical data and risk factors related to the total costs associated with an insurance contract. In other words, actuarial fairness means that individuals more likely to make a claim should pay higher premiums than those less likely to do so. Actuaries use mathematical models and statistical analysis to calculate the risk associated with different events, such as illness, accidents, and natural disasters. They then use this data to set premiums that reflect the risk associated with other policyholders. A critical strategy for insurers is "skimming the creme," referring to insurance companies selectively choosing to insure customers at lower risk of making a claim while excluding or charging higher premiums to those at higher risk. This strategy's successful implementation requires a competitive advantage in terms of more data, more features or better models. Even if an insurer does not want to use this strategy, having an excellent predictive model (as good as the competitor's) is still essential. The introduction discusses incorporating big data into an insurer's ratemaking model. We then provide specific implementations using external census information for spatial modelling and external street view imagery to identify risk factors of houses. The second part of this thesis includes two contributions to copula theory. It is dedicated to obtaining new results on the family of Farlie-Gumbel-Morgenstern (FGM) copulas. This family of copulas is very flexible since its d-variate version contains 2ᵈ - d - 1 parameters. However, this high dimensionality in the parameters is considered a drawback since there are too many parameters to specify, which are difficult to interpret, and the parameters must satisfy a set of tedious constraints. Constructing high-dimensional families of FGM copulas for practical applications is challenging. Our contribution in this part of the thesis is to propose a stochastic representation of FGM copulas based on symmetric multivariate Bernoulli distributions. We further show that this correspondence is one-to-one. This representation, in most cases, lets one derive new properties of FGM copulas based on the expansive literature on multivariate symmetric Bernoulli distributions. We derive useful supplemental results when we use the additional assumption that the components of the random vector are exchangeable. In the third part of this thesis, we provide two contributions to risk aggregation, capital allocation and risk-sharing. First, we use the results derived in the second part of the thesis to study risk aggregation when the dependence structure between the risks is a FGM copula. We derive expressions for the moments and the Laplace-Stieltjes transform of the aggregate random variable based on the stochastic representation of FGM copulas. We design an algorithm to compute the probability mass function of the aggregate random vector when the risks are discrete. When risks are mixed Erlang distributed, we find that the aggregate random variable is also mixed Erlang distributed and develop expressions for risk measures and ex-post risk contributions for risk-sharing with the conditional mean risk-sharing rule in that case. For our second contribution of this part, we provide a link between conditional expectations and derivatives of joint probability-generating functions. This relationship leads to new strategies to compute conditional means ex-ante or ex-post when risks are discrete. We derive new expressions for the conditional means and develop an efficient computational strategy based on fast Fourier transforms to compute the conditional means.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LAVAL/oai:corpus.ulaval.ca:20.500.11794/129723 |
| Date | 27 November 2023 |
| Creators | Blier-Wong, Christopher |
| Contributors | Marceau, Étienne, Cossette, Hélène, Lamontagne, Luc |
| Source Sets | Université Laval |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | COAR1_1::Texte::Thèse::Thèse de doctorat |
| Format | 1 ressource en ligne (xvi, 258 pages), application/pdf |
| Rights | http://purl.org/coar/access_right/c_abf2 |
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