Cette thèse étudie les propriétés des copules appartenant à la famille khi-carré. Il s’agit d’une généralisation des copules normales multidimensionnelles obtenue en élevant au carré les composantes d’un vecteur de variables aléatoires normales. Ces copules sont indicées par une matrice de corrélation et par un paramètre de forme. Cette thèse montre comment cette famille de copules peut être utilisée pour faire de l’interpolation spatiale et pour modéliser des données multidimensionnelles. Dans un premier temps, l’utilité de cette classe de structures de dépendance est démontrée par le biais d’une application en statistique spatiale. Un problème important dans ce contexte est de prévoir la valeur d’un champ aléatoire stationnaire en une position où il n’a pas été observé. Cette thèse montre comment construire de telles prévisions à l’aide de modèles spatiaux basés sur les copules. L’accent est mis sur l’utilisation de la famille des copules khi-carré dans ce contexte. Il faut d’abord supposer que la matrice de corrélation a une forme paramétrique standard, telle celle de Matérn, indicée par un paramètre inconnu associé à la force de l’association spatiale. Ce paramètre est d’abord estimé à l’aide d’une pseudo-vraisemblance composite construite à partir des lois bidimensionnelles des données observées. Ensuite, une méthode d’interpolation spatiale utilisant les rangs des observations est suggérée afin d’approximer la meilleure prévision du champ aléatoire à une position non observée. Dans un deuxième temps, les propriétés fondamentales des copules khi-carré sont étudiées en détail. Cette famille de copules permet une grande flexibilité quant à la modélisation de données multidimensionnelles. Dans le cas bivarié, ces copules s’adaptent à de la dépendance autant symétrique qu’asymétrique. En dimension plus grande, le paramètre de forme contrôle le degré d’asymétrie radiale des distributions marginales bidimensionnelles. Des procédures d’estimation de la matrice de corrélation et du paramètre de forme sont comparées dans le cas de répétitions indépendantes et identiquement distribuées. Enfin, des formules de l’espérance conditionnelle pour la meilleure prévision dans un contexte spatiale sont établies. Finalement, des tests d’adéquation basés sur des moments pour la famille des copules khi-carré sont développés. Ces nouveaux tests peuvent être appliqués à un ensemble de données de n’importe quelle dimension. Ces procédures reposent sur deux mesures d’association basées sur les rangs des observations ce qui évite d’avoir à spécifier les lois marginales. Il est démontré que le comportement conjoint de ces deux mesures est asymptotiquement normal. L’efficacité des nouvelles procédures d’adéquation est démontrée via une étude de simulations et est comparée à un test d’adéquation classique basé sur la copule empirique. / This thesis studies the properties of the family of chi-square copulas. This is a generalization of the multidimensional normal copulas obtained by squaring the components of normal random vector. These copulas are indexed by a correlation matrix and by a shape parameter. This thesis shows how this family can be used to perform spatial interpolation and to model multidimensional data. First, the usefulness of this class of dependence structures is demonstrated with an application in spatial statistics. An important problem in that context is to predict the value of a stationary random field at a position where it has not been observed. This thesis shows how to construct such predictions using spatial models based on copulas. One focusses on the use of the family of chi-square copulas in that context. One must first assumes that the correlation matrix has a standard parametric form, such as that of Matérn, indexed by an unknown parameter associated with the force of the spatial association. This parameter is first estimated using a composite pseudo-likelihood constructed from the bivariate distributions of the observed data. Then, a spatial interpolation method using the ranks of the observations is suggested to approximate the best prediction of the random field at an unobserved position under a chi-square copula. In a second work, the fundamental properties of the chi-square copulas are studied in detail. This family allows a lot of flexibility to model multidimensional data. In the bivariate case, this family is adapted to symmetric and asymmetric dependence structures. In larger dimensions, the shape parameter controls the degree of radial asymmetry of the two-dimensional marginal distributions. Parameter estimation procedures of the correlation matrix and of the shape parameter are compared under independent and identically distributed repetitions. Finally, the formulas of the conditional expectation for the best prediction in a spatial context are established. Goodness-of-fit tests for the family of chi-square copulas are then developed. These new tests can be applied to data in any dimension. These procedures are based on two association measures based on the ranks of the observations, which avoids having to specify the marginal distributions. It is shown that the joint behavior of these two measures is asymptotically normal. The efficiency of the new goodness-of-fit procedures is demonstrated through a simulation study and is compared to a classical goodness-of-fit test based on the empirical copula.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LAVAL/oai:corpus.ulaval.ca:20.500.11794/27977 |
| Date | 24 April 2018 |
| Creators | Toupin, Marie-Hélène |
| Contributors | Quessy, Jean-François, Rivest, Louis-Paul |
| Source Sets | Université Laval |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | thèse de doctorat, COAR1_1::Texte::Thèse::Thèse de doctorat |
| Format | 1 ressource en ligne (xii, 143 pages), application/pdf |
| Rights | http://purl.org/coar/access_right/c_abf2 |
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