Étant donné une algèbre de Lie g semi-simple de dimension finie et un élément nilpotent non nul e 2 g, on peut construire plusieurs algèbres-W associées à (g; e). Parmi eux, l’algèbre-W affine est une algèbre vertex qui peut être réalisée comme une cohomologie semi-infinie d’une sous-algèbre nilpotente de ~g, où ~g est l’algèbre de Kac-Moody associée à g. L’algèbre-W finie est l’algèbre de Zhu de l’algèbre-W affine. Dans les constructions des algèbres-W, une forme bilinéaire non dégénérée invariante et une bonne Z-graduation de g jouent des rôles essentiels. Les algèbres de courants tronqués associées à g sont des quotients de l’algèbre de courants g C[t]. On peut montrer que: (1) des formes bilinéaires non dégénérées invariantes existent sur des algèbres de courants tronqués; (2) une bonne Z-graduation de g induit des bonnes Z-graduations des algèbres de courants tronqués. Alors, les constructions des algèbres-W fonctionnent bien dans le cas des algèbres de courants tronqués. Les résultats de cette thèse sont les suivants. Premièrement, nous introduisons les algèbres-W finies et affines associées aux algèbres de courants tronqués et nous généralisons certaines propriétés des algèbres-W associées aux algèbres de Lie semi-simples. Deuxièmement, nous developpons une version ajustée de la cohomologie semi-infinie, ce qui nous permet de définir les algèbres-W affines associées à des éléments nilpotents généraux d’une façon uniforme. À la fin, nous prouvons que les algèbres de Zhu de niveaux plus hauts d’une algèbre vertex conforme sont toutes isomorphes à des sous-quotients de son algèbre enveloppante universelle. / Given a finite-dimensional semi-simple Lie algebra g and a non-zero nilpotent element e 2 g, one can construct various W-algebras associated to (g; e). Among them, the affine W-algebra is a vertex algebra which can be realized through semi-infinite cohomology, and the finite W-algebra is the Zhu algebra of the affineW-algebra. In the constructions ofW-algebras, a non-degenerate invariant bilinear form and a good Z-grading of g play essential roles. Truncated current Lie algebras associated to g are quotients of the current Lie algebra g C[t]. One can show that non-degenerate invariant bilinear forms exist on truncated current Lie algebras and a good Z-grading of g induces good Z-gradings of truncated current Lie algebras. The constructions of W-algebras can thus be adapted to the setting of truncated current Lie algebras. The main results of this thesis are as follows. First, we introduce finite and affine W-algebras associated to truncated current Lie algebras and generalize some properties of W-algebras associated to semi-simple Lie algebras. Second, we develop an adjusted version of semi-infinite cohomology, which helps us to define affine W-algebras associated to general nilpotent elements in a uniform way. Finally, we consider vertex operator algebras in general, and show that their higher level Zhu algebras are all isomorphic to subquotients of their universal enveloping algebras.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LAVAL/oai:corpus.ulaval.ca:20.500.11794/30327 |
| Date | 09 July 2018 |
| Creators | He, Xiao |
| Contributors | Lau, Michael |
| Source Sets | Université Laval |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | thèse de doctorat, COAR1_1::Texte::Thèse::Thèse de doctorat |
| Format | 1 ressource en ligne (ix, 81 pages), application/pdf |
| Rights | http://purl.org/coar/access_right/c_abf2 |
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