Le problème de Steklov est un problème spectral qui provient de la mécanique des fluides. C’est un problème de valeur propre dont les paramètres spectraux sont dans la condition au bord. Son spectre coïncide avec celui de l’opérateur de Dirichlet-Neumann. Le spectre du problème de Steklov est discret lorsque l’opérateur de trace est compact, ce qui est le cas lorsque la frontière du domaine est lipschitzienne. Dans ce mémoire, nous prouvons de deux manières différentes l’effondrement vers 0 du spectre de Steklov pour un domaine en forme d’haltère dégénérant vers deux disques. On se concentre par la suite sur les domaines dont la frontière n’est pas uniformément lipschitzienne. Nous donnons deux exemples pour montrer que l’opérateur de trace n’est pas compact pour ces domaines. De plus, nous présentons une borne inférieure pour la première valeur propre σ₁ non nulle du problème de Steklov pour les domaines ayant deux axes de symétrie. Enfin, nous présentons des bornes inférieures pour le problème des valeurs propres Steklov pour les domaines étoilés. Ces résultats sont dus à J. R. Kuttler et V. G. Sigillito. [7, 8]. / The Steklov problem is a spectral problem whose origin lies in the mechanics of fluids. It is an eigenvalue problem with spectral parameters in the boundary conditions, which has various applications. Its spectrum coincides with that of the Dirichlet-to-Neumann operator. The spectrum of the Steklov’s problem is discrete when the trace operator is compact. In this master’s thesis, we prove the collapse of the Steklov spectrum for a dumbbell domain in two manners. We will focus on non-Lipschitz domains. We give two examples to show that the trace operator is not compact for non-Lipschitz domains. Furthermore, we present a lower bound to the first non-zero eigenvalue σ₁ of the Steklov problem for domains having two axes of symmetry. Finally, we present lower bounds for the Steklov eigenvalue problem for starshaped domains. These results were due to J. R. Kuttler and V. G. Sigillito restrict domains to domains with two axes of symmetry or star-shaped domains [7, 8].
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LAVAL/oai:corpus.ulaval.ca:20.500.11794/34478 |
| Date | 17 April 2019 |
| Creators | Davoudi, Salman |
| Contributors | Girouard, Alexandre, Mashreghi, Javad |
| Source Sets | Université Laval |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | mémoire de maîtrise, COAR1_1::Texte::Thèse::Mémoire de maîtrise |
| Format | 1 ressource en ligne (vii, 52 pages), application/pdf |
| Rights | http://purl.org/coar/access_right/c_abf2 |
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