This thesis presents a brief synopsis of the derivations of the BCS and Eliashberg equations. An analytic formula for the critical temperature $T_c$ in Eliashberg theory is derived, which contains a sum of iterative integral corrections. These iterative integral corrections are the result of an iterative expression for the gap quotient $\Delta(\iw, T)/\Delta(0,T)$, which is derived. At the critical temperature this expression contains no reference to the critical temperature itself due to the gap approaching zero in this limit, $\lim_{T \rightarrow T_c} \Delta(\iw, T) = 0$. This enables explicit calculation of the critical temperature through the aforementioned iterative expression.\\ \\The behaviour of the iterative expression and its corrections are explored numerically with a toy spectral function $\sF$. Through these numerical experiments, this formula is found to be consistent with, though not equal to the successful McMillan formula for the coupling parameter $\lambda$ in the range $0.3 \leq \lambda \leq 1.5$. Below this value, the McMillan formula is found to approach zero critical temperature $T_c$ more rapidly, raising the future question of which of the two expressions is most successful in predicting the critical temperature $T_c$ in this range. \\ \\ For a toy spectral function with a single mode, the zeroth order correction of the iterative expression for the critical temperature $T_c$ is found to be adequate for most practical purposes due to the magnitude of measurement errors in real life measurements of model parameters. / Detta examensarbete går igenom en kort derivation av BCS och Eliashberg ekvationerna. En analytisk formel för den kritiska temperaturen $T_c$ i Eliashbergteori ges. Denna formel innehåller en summa av iterativa integraler som resulterar från ett uttryckt för energigapets kvot. Vid den kritiska temperaturen så kan man explicit lösa ut denna och på så sätt få ett analytiskt uttryck. Den uttrycket för den kritiska temperaturen utforskas numeriskt med en leksaks-spektralfunktion. Genom dessa numeriska experiment visas det hur det iterativa uttrycket sammanstämmer med McMillans formel för kopplingsparametern $0.3 < \lambda < 1.5$, även om dem ej är lika. Under detta intervall så närmar sig McMillans uttryck noll snabbare, vilket höjer frågan vilken utav dem två uttrycken som fungerar bäst i denna gräns. För en leksaks-spektralfunktion med ett läge så räcker den nollte korrektionen i det iterativa uttrycket för att få godtagbara resultat, med bakgrund av dem relativt stora mätfelen för riktiga parametrar.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:UPSALLA1/oai:DiVA.org:kth-293812 |
| Date | January 2021 |
| Creators | Oliveberg, Max |
| Publisher | KTH, Fysik |
| Source Sets | DiVA Archive at Upsalla University |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | Student thesis, info:eu-repo/semantics/bachelorThesis, text |
| Format | application/pdf |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
| Relation | TRITA-SCI-GRU ; 2021:005 |
Page generated in 0.0021 seconds