Nous nous intéressons à l'étude de la cyclicité et la bicyclicité dans les espaces $ell^p(Z)$ à poids et à l'étude de la cyclicité dans les espaces de Dirichlet. Alors que Wiener a caractérisé la bicyclicité des vecteurs de $ell^1(Z)$ et $ell^2(Z)$ grâce à l'ensemble des zéros de la transformée de Fourier, Lev et Olevski ont démontré que cet ensemble ne peut caractériser la bicyclicité dans $ell^p(Z)$ lorsque $1<p<2$ pour des suites $u in ell^1(Z)$. Beurling, Salem et Newman se sont aussi intéressés à la bicyclicité de vecteurs de $ell^p(Z)$ pour $1<p<2$. Dans ce travail, nous étendons tout d'abord les résultats de Beurling, Salem et Newman aux espaces $ell^p(Z)$ à poids, en étudiant la dimension de Hausdorff et la capacité de l'ensemble des zéros de la transformée de Fourier. Ensuite nous démontrons que le résultat de Lev-Olevskii reste valide pour la cyclicité dans $ell^p(Z)$, $1<p<2$. De plus, nous donnons des conditions suffisantes à la cyclicité dans les espaces $ell^p(Z)$ à poids. Enfin nous démontrons que, pour une fonction $f$ appartenant à l'algèbre du disque et à un espace de type Dirichlet, si $f$ est extérieure et si l'ensemble des zéros de $f$ est réduit à un point alors $f$ est cyclique. Ceci généralise le résultat de Hedenmalm et Shields qui ont traité le cas du Dirichlet classique. / We are interested in the study of cyclicity and bicyclicity in weighted $ell^p(Z)$ spaces and the study of cyclicity in Dirichlet spaces. While Wiener characterized the bicyclicity in $ell^1(Z)$ and $ell^2(Z)$, thanks to the zero set of the Fourier transform, Lev and Olevski have shown that this set cannot characterize bicyclicity in $ell^p(Z)$ when $1 < p < 2$ for sequences in $ell^1(Z)$. Also Beurling, Salem and Newman were interested in the bicyclicity in $ell^p(Z)$ when $1 < p < 2$. In this work, we first extend the results of Beurling, Salem and Newman to the weighted $ell^p(Z)$ spaces, by studying the Hausdorff dimension and the capacity of the zero set of the Fourier transform. Then we prove that the Lev-Olevskii result remains valid for cyclicity in $ell^p(Z)$, $1 < p < 2$. In addition, we give sufficient conditions for the cyclicity in the weighted $ell^p(Z)$ spaces. Finally, we prove that, for a function $f$ in the disk algebra and in a generalized Dirichlet space, if $f$ is outer and the zero set of $f$ is reduced to a point then $f$ is cyclic. This generalizes the result of Hedenmalm and Shields who have treated the case of the classical Dirichlet space.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:theses.fr/2018BORD0237 |
| Date | 22 November 2018 |
| Creators | Le Manach, Florian |
| Contributors | Bordeaux, Zarrabi, Mohamed, Kellay, Karim |
| Source Sets | Dépôt national des thèses électroniques françaises |
| Language | French |
| Detected Language | English |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
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