Mathematical modelling, simulation, and optimisation are core methodologies for future
developments in engineering, natural, and life sciences. This work aims at applying these
mathematical techniques in the field of biological processes with a focus on the wine
fermentation process that is chosen as a representative model.
In the literature, basic models for the wine fermentation process consist of a system of
ordinary differential equations. They model the evolution of the yeast population number
as well as the concentrations of assimilable nitrogen, sugar, and ethanol. In this thesis,
the concentration of molecular oxygen is also included in order to model the change of
the metabolism of the yeast from an aerobic to an anaerobic one. Further, a more sophisticated
toxicity function is used. It provides simulation results that match experimental
measurements better than a linear toxicity model. Moreover, a further equation for the
temperature plays a crucial role in this work as it opens a way to influence the fermentation
process in a desired way by changing the temperature of the system via a cooling
mechanism. From the view of the wine industry, it is necessary to cope with large scale
fermentation vessels, where spatial inhomogeneities of concentrations and temperature
are likely to arise. Therefore, a system of reaction-diffusion equations is formulated in
this work, which acts as an approximation for a model including computationally very
expensive fluid dynamics.
In addition to the modelling issues, an optimal control problem for the proposed
reaction-diffusion fermentation model with temperature boundary control is presented
and analysed. Variational methods are used to prove the existence of unique weak solutions
to this non-linear problem. In this framework, it is possible to exploit the Hilbert
space structure of state and control spaces to prove the existence of optimal controls.
Additionally, first-order necessary optimality conditions are presented. They characterise
controls that minimise an objective functional with the purpose to minimise the final
sugar concentration. A numerical experiment shows that the final concentration of sugar
can be reduced by a suitably chosen temperature control.
The second part of this thesis deals with the identification of an unknown function
that participates in a dynamical model. For models with ordinary differential equations,
where parts of the dynamic cannot be deduced due to the complexity of the underlying
phenomena, a minimisation problem is formulated. By minimising the deviations of simulation
results and measurements the best possible function from a trial function space
is found. The analysis of this function identification problem covers the proof of the
differentiability of the function–to–state operator, the existence of minimisers, and the
sensitivity analysis by means of the data–to–function mapping. Moreover, the presented
function identification method is extended to stochastic differential equations. Here, the
objective functional consists of the difference of measured values and the statistical expected
value of the stochastic process solving the stochastic differential equation. Using a
Fokker-Planck equation that governs the probability density function of the process, the
probabilistic problem of simulating a stochastic process is cast to a deterministic partial
differential equation. Proofs of unique solvability of the forward equation, the existence of
minimisers, and first-order necessary optimality conditions are presented. The application
of the function identification framework to the wine fermentation model aims at finding
the shape of the toxicity function and is carried out for the deterministic as well as the
stochastic case. / Mathematische Modellierung, Simulation und Optimierung sind wichtige Methoden für
künftige Entwicklungen in Ingenieurs-, Natur- und Biowissenschaften. Ziel der vorliegende
Arbeit ist es diese mathematische Methoden im Bereich von biologischen Prozessen anzuwenden.
Dabei wurde die Weingärung als repräsentatives Modell ausgewählt.
Erste Modelle der Weingärung, die man in der Literatur findet, bestehen aus gewöhnlichen
Differentialgleichungen. Diese modellieren den Verlauf der Populationszahlen der
Hefe, sowie die Konzentrationen von verwertbarem Stickstoff, Zucker und Ethanol. In
dieser Arbeit wird auch die Konzentration von molekularem Sauerstoff betrachtet um den
Wandel des Stoffwechsels der Hefe von aerob zu anaerob zu erfassen. Weiterhin wird
eine ausgefeiltere Toxizitätsfunktion benutzt. Diese führt zu Simulationsergebnissen, die
im Vergleich zu einem linearen Toxizitätsmodell experimentelle Messungen besser reproduzieren
können. Außerdem spielt eine weitere Gleichung für die zeitliche Entwicklung der
Temperatur eine wichtige Rolle in dieser Arbeit. Diese eröffnet die Möglichkeit den Gärprozess
in einer gewünschten Weise zu beeinflussen, indem man die Temperatur durch
einen Kühlmechanismus verändert. Für industrielle Anwendungen muss man sich mit
großen Fermentationsgefäßen befassen, in denen räumliche Abweichungen der Konzentrationen
und der Temperatur sehr wahrscheinlich sind. Daher ist in dieser Arbeit ein
System von Reaktion-Diffusions Gleichungen formuliert, welches eine Approximation an
ein Modell mit rechenaufwändiger Strömungsmechanik darstellt.
Neben der Modellierung wird in dieser Arbeit ein Optimalsteuerungsproblem für das
vorgestellte Gärmodell mit Reaktions-Diffusions Gleichungen und Randkontrolle der Temperatur
gezeigt und analysiert. Variationelle Methoden werden benutzt, um die Existenz
von eindeutigen schwachen Lösungen von diesem nicht-linearen Modell zu beweisen. Das
Ausnutzen der Hilbertraumstruktur von Zustands- und Kontrolraum macht es möglich
die Existenz von Optimalsteuerungen zu beweisen. Zusätzlich werden notwendige Optimalitätsbedingungen erster Ordnung vorgestellt. Diese charakterisieren Kontrollen, die
das Zielfunktional minimieren. Ein numerisches Experiment zeigt, dass die finale Konzentration
des Zuckers durch eine passend ausgewählte Steuerung reduziert werden kann.
Der zweite Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Identifizierung einer unbekannten
Funktion eines dynamischen Modells. Es wird ein Minimierungsproblem für Modelle
mit gewöhnlichen Differentialgleichungen, bei denen ein Teil der Dynamik aufgrund
der Komplexität der zugrundeliegenden Phänomene nicht hergeleitet werden kann, formuliert.
Die bestmögliche Funktion aus einem Testfunktionenraum wird dadurch ausgewählt,
dass Abweichungen von Simulationsergebnissen und Messungen minimiert werden.
Die Analyse dieses Problems der Funktionenidentifikation beinhaltet den Beweis der
Differenzierbarkeit des Funktion–zu–Zustand Operators, die Existenz von Minimierern
und die Sensitivitätsanalyse mit Hilfe der Messung–zu–Funktion Abbildung. Weiterhin
wird diese Funktionenidentifikationsmethode für stochastische Differentialgleichungen erweitert.
Dabei besteht das Zielfunktional aus dem Abstand von Messwerten und dem Erwartungswert des stochastischen Prozesses, der die stochastische Differentialgleichung löst. In dem man die Fokker-Planck Gleichung benutzt wird das wahrscheinlichkeitstheoretische Problem einen stochastischen Prozess zu simulieren in eine deterministische partielle Differentialgleichung überführt. Es werden Beweise für die eindeutige Lösbarkeit der Vorwärtsgleichung, die Existenz von Minimierern und die notwendigen Bedingungen erster Ordnung geführt. Die Anwendung der Funktionenidentifikation auf die Weingärung zielt darauf ab die Form der Toxizitätsfunktion herauszufinden und wird sowohl für den deterministischen als auch für den stochastischen Fall durchgeführt.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:uni-wuerzburg.de/oai:opus.bibliothek.uni-wuerzburg.de:13890 |
| Date | January 2016 |
| Creators | Merger, Juri |
| Source Sets | University of Würzburg |
| Language | English |
| Detected Language | German |
| Type | doctoralthesis, doc-type:doctoralThesis |
| Format | application/pdf |
| Rights | https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/de/deed.de, info:eu-repo/semantics/openAccess |
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