De las numerosas subvariedades de las álgebras de Ockham, aquella estrechamente
relacionada con las álgebras de De Morgan es Km,0 con m > 1, la cual está formada por las
álgebras de Ockham que satisfacen la identidad adicional f2m(x) = x. Como las álgebras
de Lukasiewicz-Moisil de orden n (o Ln–álgebras) tienen un reducto que es un álgebra de
De Morgan, T. Almada y J. Vaz de Carvalho ([1]) consideraron una generalización de las
Ln–álgebras reemplazando dicho reducto por uno que pertenece a Km,0 y, de este modo,
introdujeron la variedad de las álgebras de Lukasiewicz m−generalizadas de orden n (o
Lmn–álgebras).
En esta tesis, nosotros continuamos con el estudio de esta variedad. Al volumen lo
hemos organizado en cinco capítulos. En el Capítulo I damos nociones básicas y hacemos
un repaso de los resultados más importantes de álgebra universal. Además, hemos
incluido una breve exposición sobre la teoría de los cálculos proposicionales extensionales
implicativos standars. Por último, describimos la localización para retículos distributivos
acotados. Todos estos temas los hemos incluido tanto para facilitar la lectura como para
fijar los conceptos que utilizaremos en el desarrollo de este trabajo.
En el Capítulo II, comenzamos nuestro estudio de las álgebras de Lukasiewicz m–
generalizadas de orden n. En primer lugar, y motivados por el rol fundamental que desempeña la implicación débil en las álgebras de Lukasiewicz de orden n, introducimos una
operación de implicación en las Lmn
–álgebras. Esta implicación nos permitió considerar la
noción de sistema deductivo a partir de la cual caracterizamos a las congruencias. Cabe
señalar que este resultado fue fundamental para describir a las congruencias principales,
de manera más simple que la obtenida en [1] a partir de la teoría de las álgebras de
Ockham. Además, dicha implicación nos permitió definir un elemento fundamental para
obtener una nueva caracterización de las álgebras simples y hallar el polinomio discriminador
ternario para esta variedad. Algunos de los temas estudiados en este capítulo fueron
expuestos en las comunicaciones:
Sobre las m−álgebras de Lukasiewicz generalizadas de orden n, C. Gallardo y A.
Ziliani, LVIII Reunión Anual de Comunicaciones Científicas de la UMA, U.N. de
Cuyo, 2008.
La variedad discriminadora de las m-álgebras de Lukasiewicz generalizadas de orden
n, LVIII Reunión Anual de Comunicaciones Científicas de la UMA, U.N. de Mar
del Plata, 2009.
Además, se encuentran publicados en [32]:
Weak implication on generalized Lukasiewicz algebras of order n, A.V. Figallo, C.
A. Gallardo y A. Ziliani, Bulletin of the Section of Logic, 39, 4(2010), 187–198.
En el Capítulo III, y con el propósito de hallar un cálculo proposicional para el cual
las Lmn–álgebras sean su contrapartida algebraica, introducimos una nueva operación de
implicación a la que denominamos implicación standard. Ella jugó un papel primordial
en la resolución del problema planteado y nos permitió obtener otra caracterización de
las congruencias. A continuación describimos el cálculo hallado, que denotamos `mn y
probamos que pertenece a la clase de los sistemas proposicionales implicativos extensionales
standards. Finalmente, demostramos el teorema de completitud para `mn. Además,
cabe mencionar que los resultados obtenidos en este capítulo dan respuesta positiva a un
problema planteado en [1]. Algunos de estos resulatdos fueron expuestos en la siguiente
presentación:
On the congruence m-generalized Lukasiewicz algebras of order n, C. Gallardo y A.
Ziliani, XVI EBL and 16th Brazilian Logic Conference, Petrópolis, Brasil, 2011
y han sido publicados en [33]:
The Lmn–propositional calculus, C. A. Gallardo y A. Ziliani. Mathematica Bohemica,
140,1(2015), 11–33.
En el Capítulo IV, desarrollamos la teoría de localización para las álgebras de Lukasiewicz
m–generalizadas de orden n. En particular, para cada Lmn–álgebra L determinamos
el álgebra de fracciones L[C] asociada a un conjunto ^-cerrado C de L. A continuación,
introducimos la noción de 1–ideal en las Lmn–álgebras lo que nos permitió definir una
topología F para ellas y el concepto de F-multiplicador. Luego, a partir de estas nociones
construimos el álgebra de localización LF de L con respecto a F. Además, mostramos que
la Lmn–álgebra de fracciones L[C] es un álgebra de localización. Posteriormente, definimos
la noción de Lmn-álgebra de cocientes y probamos la existencia de la Lmn-álgebra maximal
de cocientes. En la última sección de este capítulo nos dedicamos a analizar los resultados
antes descriptos para el caso de las Lmn–álgebras finitas. En la siguiente comunicación
presentamos algunos de estos temas:
F–multipliers and localization of Lmn
–algebras, C. Gallardo y A. Ziliani, Workshop
Philosophy and History of Science State University of Campinas, UNICAMP, Campinas,
Brasil, 2012
Cabe mencionar que los mismos han sido aceptados para su publicación en Journal of
Multiple-Valued Logic and Soft Computing (2016). ([34])
En el Capítulo V, nos abocamos al estudio de las propiedades de las L2
n–álgebras finitas y finitamente generadas, obteniendo importantes propiedades de los átomos en estas
álgebras. A continuación, describimos detalladamente a las álgebras simples. Además,
determinamos la estructura de las L2
n–álgebras libres con un conjunto finito de generadores
lies. Finalmente, indicamos un método para calcular el cardinal del álgebra libre con
un conjunto finito n de generadores libres. / Ockham algebras have a great number of subvarieties, but the ones which are more
closely related to De Morgan algebras are Km,0 with m > 1. They are constituted by
Ockham algebras that satisfy the additional identity f2m(x) = x. Since Lukasiewicz-
Moisil algebras of order n have a reduct which is a De Morgan algebra, T. Almada y J.
Vaz de Carvalho ([1]) introduced a generalization of them, by switching this reduct by one
which belongs to Km,0. Hence, they introduced the variety of m−generalized Lukasiewicz
algebras of order n (or Lmn–algebras).
Our aim in this thesis is to study in depth this variety. More precisely, we have organized
this work in five chapters. In Chapter I, basic definitions are provided and we
also do a review of the most important results in universal algebra. Furthermore, we have
included as well a brief discussion on the class of standard systems of implicative extensional
propositional calculi. Finally, we describe the localization for bounded distributive
lattices. These topics have been included not only to simplify the reading but also to fix
the notations and the definitions that we will use in this volume.
In Chapter II, we began our study of m−generalized Lukasiewicz algebras of order
n. First, and bearing in mind the fundamental role that the weak implication played in
the study of Lukasiewicz algebras of order n, we introduced an implication operation on
Lmn
–algebras which generalize the latter. This notion enabled us to consider the notion
of deductive systems from which we have given a new characterization of the congruence
lattice on these algebras. It is worth mentioning that this result turned out to be very
useful for describing the principal congruences on Lmn
–algebras in a simpler way than the
one obtained in [1], where the theory of Ockham’s algebras was applied. In addition, the
aforementioned implication allowed us to define a fundamental element for what follows
and, in this case, to obtain a new characterization of simple algebras and to describe the
ternary discriminator polynomial for this variety. Some of the above results were presented
in the following meetings:
Sobre las m−´algebras de Lukasiewicz generalizadas de orden n, C. Gallardo y A.
Ziliani, LVIII Reuni´on Anual de Comunicaciones Cient´ıficas de la UMA, U.N. de
Cuyo, 2008.
La variedad discriminadora de las m-´algebras de Lukasiewicz generalizadas de orden
n, LVIII Reuni´on Anual de Comunicaciones Cient´ıficas de la UMA, U.N. de Mar
del Plata, 2009.
Furthermore, they were published in [32]:
Weak implication on generalized Lukasiewicz algebras of order n, A.V. Figallo, C.
A. Gallardo y A. Ziliani, Bulletin of the Section of Logic, 39, 4(2010), 187–198.
In Chapter III, and in order to obtain a propositional calculus which has Lmn
–algebras
as the algebraic counterpart, we introduced another implication operation on these algebras
which we called standard implication. This provided us with a crucial tool not only
to solve the formulated problem, but also to give a new characterization of the congruence
and the principal congruence lattice of these algebras, simpler than all the above obtained descriptions. Next, we described the propositional calculus, denoted by `mn
, and we proved
that it belongs to the class of standard systems of implicative extensional propositional
calculi. Finally, the completeness theorem for `mn
is obtained. It is worth noting that in
this chapter we have given a positive answer to the problem posed in [1]. Besides, some
of the topics presented in this chapter were previously discussed in the following event
On the congruence m-generalized Lukasiewicz algebras of order n, C. Gallardo y A.
Ziliani, XVI EBL and 16th Brazilian Logic Conference, Petr´opolis, Brasil, 2011.
and they have been published in [33]:
The Lmn
–propositional calculus, C. A. Gallardo y A. Ziliani. Mathematica Bohemica,
140,1(2015), 11–33.
In Chapter IV, we have developed the theory of localization for m−generalized Lukasiewicz
algebras of order n. In particular, for each Lmn
–algebra L we have determined the Lmn–
algebra of fractions L[C] relative to an ^-closed system C of L. Later on, we introduced
the notion of 1–ideal on Lmn
–algebras which allows us to consider a topology F for them
and the concept of F-multiplier. Furthermore, we have proved that the Lmn
–algebra of
fractions L[C] is an Lmn
–algebra of localization. Moreover, we have defined the notion of
Lmn
–algebra of quotients and we have proved the existence of the maximal Lmn
–algebra of
quotients. By the end of this chapter, our attention is focused on analyzing the aforementioned
results for the case of finite Lmn
–algebras. Some of these results were presented in
this report:
F–multipliers and localization of Lmn
–algebras, C. Gallardo y A. Ziliani, Workshop
Philosophy and History of Science State University of Campinas, UNICAMP, Campinas,
Brasil, 2012. Besides, it is worth mentioning that these topics have been accepted for publication in
the Journal of Multiple-Valued Logic and Soft Computing (2016). ([34]).
In Chapter V, our main aim was to study the properties of finite and finitely generated
L2
n–algebras. In particular, we have obtained important results on the atoms of them.
Next, we have provided an exhaustive description of the simple L2
n–algebras. Finally, we
have determined the structure of the free L2
n–algebras with a finite set of free generators
and we have also indicated a method to calculate the cardinal number of them in terms
of the number of the free generators.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:uns.edu.ar/oai:repositorio.bc.uns.edu.ar:123456789/3393 |
| Date | 21 March 2017 |
| Creators | Gallardo, Carlos Alberto |
| Contributors | Ziliani, Alicia Nora |
| Publisher | Universidad Nacional del Sur |
| Source Sets | Universidad Nacional del Sur |
| Language | Spanish |
| Detected Language | Spanish |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
| Rights | 2 |
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