[pt] Os gráficos de controle estão entre as ferramentas indispensáveis para monitorar o desempenho de um processo em várias indústrias. Quando estimativas de parâmetros são necessárias para projetar esses gráficos, seu desempenho é afetado devido aos erros de estimação. Para resolver esse problema, no passado, pesquisadores avaliavam o desempenho desses métodos em termos do valor esperado do número médio de amostras até um alarme falso condicionado às estimativas dos parâmetros (denotado por 𝐶𝐴𝑅𝐿0). No entanto, esta solução não considera a grande variabilidade do 𝐶𝐴𝑅𝐿0 entre usuários. Então, recentemente, surgiu a ideia de medir o desempenho dos gráficos de controle usando a probabilidade de o 𝐶𝐴𝑅𝐿0 ser maior do que um valor especificado – que deve estar próximo do desejado nominal. Isso é chamado de Exceedance Probability Criterion (EPC). Para aplicar o EPC, a função de distribuição acumulada (c.d.f.) do 𝐶𝐴𝑅𝐿0 é necessária. No entanto, para um dos gráficos de controle mais utilizados, o gráfico Xbarra, também conhecido como gráfico x (sob a suposição de distribuição normal), a expressão matemática da c.d.f. não está disponível na literatura. Como contribuição nesse sentido, o presente trabalho apresenta a derivação exata da expressão matemática da c.d.f. do 𝐶𝐴𝑅𝐿0 para três possíveis casos de estimação de parâmetros: (1) quando a média e o desvio-padrão são desconhecidos, (2) quando apenas a média é desconhecida e (3) quando apenas o desvio-padrão é desconhecido. Assim, foi possível calcular o número mínimo de amostras iniciais, m, que garantem um desempenho desejada do gráfico em termos de EPC. Esses resultados mostram que m pode assumir valores consideravelmente grandes (como, por exemplo, 3.000 amostras). Como solução, duas novas equações são derivadas aqui para ajustar os limites de controle garantindo assim um desempenho desejado para qualquer valor de m. A vantagem dessas equações é que uma delas fornece resultados exatos enquanto a outra dispensa avançados softwares de computador para os cálculos. Um estudo adicional sobre o impacto desses ajustes no desempenho fora de controle (OOC) fornece tabelas que ajudam na decisão do melhor tradeoff entre quantidade adequada de dados e desempenhos IC e OOC preferenciais do gráfico. Recomendações práticas para uso desses resultados são aqui também fornecidas. / [en] Control charts are among the indispensable tools for monitoring process performance in various industries. When parameter estimation is needed to design these charts, their performance is affected due to parameter estimation errors. To overcome this problem, in the past, researchers have evaluated the performance of control charts and designed them in terms of the expectation of the realized in-control (IC) average run length (𝐶𝐴𝑅𝐿0). But, as pointed recently, this solution does not account for what is known as the practitioner-to-practitioner variability (i.e., the variability of 𝐶𝐴𝑅𝐿0). So, a recent idea emerged where control chart performance is measured by the probability of the 𝐶𝐴𝑅𝐿0 being greater than a specified value - which must be close to the nominal desired one. This is called the Exceedance Probability Criterion (EPC). To apply the EPC, the cumulative distribution function (c.d.f.) of the 𝐶𝐴𝑅𝐿0 is required. However, for the most well-known control chart, named the two-sided Shewhart Xbar (or simply X) Chart (under normality assumption), the mathematical c.d.f. expression of the 𝐶𝐴𝑅𝐿0 is not available in the literature. As a contribution in this respect, the present work presents the derivation of the exact c.d.f. expression of the 𝐶𝐴𝑅𝐿0 for three cases of parameters estimation: (1) when both the process mean and standard deviation are unknown, (2) when only the mean is unknown and (3) when only the standard deviation is unknown. Using these key results, it was possible to calculate the exact minimum number of initial (Phase I) samples (m) that guarantees a desired in-control performance in terms of the EPC. These results show that m can be prohibitively large (such as 3.000 samples). As a solution to this problem, two new equations are derived here to adjust the control limits to guarantee a desired in-control performance in terms of the EPC for any given value of m. The advantage of these equations (compared to the existing adjustments methods) is that one provides exact results and the other one does not require too many computational resources to perform the calculations. A further study about the impact of these adjustments on the out-of-control (OOC) performance provides useful tables to decide the appropriate amount of data and the adjustments that corresponds to a user preferred tradeoff between the IC and OOC performances of the chart. Practical recommendations for using these findings are also provided in this research work.

[pt] Os gráficos de controle de S(2) são ferramentas fundamentais amplamente utilizados para monitoramento da dispersão do processo em aplicações de CEP. O desempenho na Fase II de diferentes tipos de gráficos de controle, incluindo o gráfico de S(2), com parâmetros desconhecidos pode ser significativamente diferente do desempenho nominal por causa do efeito da estimação de parâmetros. Nos anos mais recentes, este efeito tem sido abordado predominantemente sob a perspectiva condicional, que considera a variabilidade das estimativas de parâmetros obtidas a partir de diferentes amostras de referência da Fase I em vez das típicas medidas de desempenho baseadas na distribuição marginal (incondicional) do número de amostras até o sinal (Run Length-RL), como sua média. À luz dessa nova perspectiva condicional, a análise do desempenho da Fase II e do projeto de gráficos de controle é frequentemente realizada usando o Exceedance Probability Criterion para a média da distribuição condicional do RL (CARL 0), isto é, o critério que garante uma alta probabilidade de que CARL 0 seja pelo menos um valor mínimo tolerado e especificado. Intervalos de tolerância para variâncias amostrais são úteis quando o maior interesse está focado na precisão dos valores de uma característica de qualidade, e podem ser usados na tomada de decisões sobre a aceitação de lotes por amostragem. Motivado pelo fato de que estes intervalos, especificamente no caso dos intervalos bilaterais, não foram abordados na literatura, limites bilaterais de tolerância exatos e aproximados de variâncias amostrais são derivados e apresentados neste trabalho. A relação matemática-estatística entre o intervalo de tolerância para a variância amostral e o Exceedance Probability (função de sobrevivência) da CARL 0 do gráfico de S(2) com parâmetro estimado é reconhecida, destacada e usada neste trabalho de tal forma que o estudo do desempenho na Fase II e o projeto desse gráfico pode ser baseado no intervalo de tolerância para a variância amostral, e vice-versa. Os trabalhos sobre o desempenho e projeto do gráfico de S(2) com parâmetro estimado focaram-se em apenas uma perspectiva (incondicional ou condicional) e consideraram somente um tipo de gráfico (unilateral superior ou bilateral). A existência de duas perspectivas e dois tipos de gráficos poderia ser confusa para os usuários. Por esse motivo, o desempenho e o projeto do gráfico de S(2) de acordo com essas duas perspectivas são comparados, considerando cada tipo de gráfico. Da mesma forma, esses dois tipos de gráficos também são comparados para cada perspectiva. Alguns resultados importantes relacionados ao projeto do gráfico de S(2), que ainda não estão disponíveis na literatura, foram necessários e obtidos neste trabalho para fornecer um estudo comparativo completo que permita aos usuários estarem cientes das diferenças significativas entre as duas perspectivas e os dois tipos de gráficos para tomar decisões informadas sobre a escolha do projeto do gráfico de S(2). Além disso, dado que a distribuição condicional do RL é em geral fortemente enviesada à direita, a mediana e alguns quantis extremos desta distribuição são propostos como medidas de desempenho complementares à sua tradicional média (CARL 0). Finalmente, algumas recomendações práticas são oferecidas. / [en] The S(2) control charts are fundamental tools widely used to monitor the process dispersion in applications of Statistical Process Monitoring and Control. Phase II performance of different types of control charts, including the S(2) chart, with unknown process parameters may be significantly different from the nominal performance due to the effect of parameter estimation. In the last few years, this effect has been addressed predominantly under the conditional perspective, which considers the variability of parameter estimates obtained from different Phase I reference samples instead of the traditional unconditional performance measures based on the marginal (unconditional) run length (RL) distribution, such as the unconditional average run length. In light of this new conditional perspective, the analysis of the Phase II performance and design of control charts is frequently undertaken using the Exceedance Probability Criterion for the conditional (given the parameter estimates) in-control average run length (CARL 0), that is, the criterion that ensures a high probability that the CARL 0 is at least a specified minimum tolerated value. Tolerance intervals for sample variances are useful when the main concern is the precision of the values of the quality characteristic and then they can be used in decision-making on lot acceptance sampling. Motivated by the fact that these tolerance intervals, specifically in the case of the two-sided intervals, have not been addressed in the literature so far, exact and approximate two-sided tolerance limits for the population of sample variances are derived and presented in this work. The mathematical-statistical relationship between tolerance interval for the sample variance and the exceedance probability (survival probability) of the CARL 0 for the S(2) control chart with estimated parameter is recognized, highlighted and used in this work in such a way that the study of the Phase II performance and design of this chart can be based on tolerance interval for the sample variance, and vice versa. Works on performance and design of S(2) chart with estimated parameter generally focused on only one perspective (either unconditional or conditional) and considered only one type of chart (either upper one-sided chart or two-sided chart). The existence of both perspectives and two types of charts may be confusing for practitioners. For that reason, the performance and design of S(2) control chart according to these two perspectives are compared, considering each type of chart. Similarly, these two types of charts are also compared for each perspective. Some important results related to the S(2) chart design, which are not yet available in the literature, were required and obtained in this work to provide a comprehensive comparative study that enables practitioners to be aware of the significant differences between these two perspectives and the two types of charts so that proper informed decisions about the chart design to choose can be made. Furthermore, because the conditional RL distribution is usually highly rightskewed, the median and some extreme quantiles of the conditional RL distribution are proposed as complementary performance measures to the customary mean (CARL 0). Finally, some practical recommendations are offered.