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Le groupe de Cremona de rang 2 est le groupe des transformations birationnelles du plan projectif. Le but de cette thèse est d'étudier et de construire des espaces hyperboliques sur lesquels le groupe de Cremona agit et qui permettent de mettre en œuvre des méthodes provenant de la théorie géométrique des groupes. Il est connu depuis une dizaine d'année que le groupe de Cremona agit sur un espace hyperbolique H analogue au plan hyperbolique classique mais de dimension infinie. Dans un premier temps, nous montrons que le groupe de Cremona défini sur un corps quelconque n'est pas simple en le faisant agir sur cet espace hyperbolique. Ceci prolonge un résultat déjà connu dans le cas d'un corps de base algébriquement clos. Nous nous intéressons ensuite à un graphe construit par D. Wright sur lequel agit le groupe de Cremona. Nous montrons qu'il ne possède pas la propriété que nous souhaitions, à savoir qu'il n'est pas hyperbolique au sens de Gromov. Nous construisons également un domaine fondamental pour l'action du groupe de Cremona sur H via la méthode des cellules de Voronoï. Nous caractérisons les applications du groupe de Cremona qui correspondent à un domaine adjacent au domaine fondamental. Cela nous permet de prouver que le graphe de Wright est quasi-isométrique au graphe dual à ce pavage. Nous obtenons ainsi une manière de retrouver le graphe de Wright dans H. Nous montrons enfin qu'en modifiant ce graphe dual, nous obtenons un graphe hyperbolique au sens de Gromov. Dans une dernière partie, nous nous intéressons à une autre propriété naturelle qui est la propriété CAT(0). Nous construisons un complexe cubique CAT(0) de dimension infinie muni d'une action naturelle du groupe de Cremona. / The Cremona group of rank 2 is the group of birational transformations of the projective plane. The aim of this thesis is to study and build some hyperbolic spaces with a natural action of the Cremona group. We want these spaces to have good geometric properties in order to use methods coming from geometric group theory. It is known that the Cremona group acts on a hyperbolic space H which is similiar to the classical hyperbolic plane but in infinite dimension. First, using this action, we show that the Cremona group is not simple over any field. This extends previous results over an algrebraic closed field. Then we study the Wrigth's graph. We show that it doesn't have the property we are looking for, in the sense that it is not Gromov hyperbolic. We build a fundamental domain for the action of the Cremona group on H 8 via Voronoï's cells. We characterize birational tranformations that correspond to adjacent domains of the fundamental domain. This allows us to prove that the Wright's graph is quasi-isometric to the dual graph of this tessellation. It's give us a way of realizing the Wright's graph inside H. Finally, we show that by modifying the dual graph we obtain a Gromov hyperbolic graph. In the last part, we are interested in another classical property which is the CAT(0) property. We build an infinite dimensional CAT(0) cubical complex which comes with a natural action of the Cremona group.

[pt] O Grupo de Cremona é o grupo das Transformações birracionais do plano projetivo e tem um papel muito importante em Geometria Birracional. Pelo Teorema de Nöether-Castelnuovo (final do século XIX), o Grupo de Cremona é gerado pelos automorfismos do plano projetivo e pela Transformação Quadrática Padrão. Apesar de compreendermos bem o grupo de automorfismos do Plano Projetivo e a Transformação Quadrática Padrão, o estudo do Grupo de Cremona é bastante desafiador, e sua estrutura ainda não é totalmente conhecida. Somente em 2013, Cantat e Lamy provaram que o Grupo de Cremona não é simples no caso de um corpo algebricamente fechado. Em 2016, Anne Lonjou provou o mesmo para qualquer corpo. Ambas as provas se baseiam em uma ação por isometrias do Grupo de Cremona em um espaço hiperbólico de dimensão infinita. Nosso objetivo será entender essa ação e como ela pode ser usada no estudo do Grupo de Cremona. / [en] The Cremona Group is the group of Birrational Transformations of the projective plane and has a very important role in Birrational Geometry. By the Nöether-Castelnuovo Theorem (late 19th century), the Cremona Group is generated by the automorphisms of the projective plane and by the Standard Quadratic Transformation. Although we understand well the group of automorphisms of the projective plane and the Standard Quadratic Transformation, the study of the Cremona Group is quite challenging, and its structure is not yet fully known. Only in 2013, Cantat and Lamy proved that the Cremona Group is not simple in the case of an algebraically closed field. In 2016, Anne Lonjou proved the same for any field. Both proofs are based on an action by isometries of the Cremona Group in a hyperbolic space of infinite dimension. Our goal will be to understand this action and how it can be used in the study of the Cremona Group.

Le groupe de Cremona en n variables Cr_n(C) est le groupe des transformations birationnelles de l'espace projectif complexe de dimension n. Dans cette thèse, on étudie les groupes de Cremona en considérant certaines classes de „grands'' sous-groupes. Dans la première partie on considère des plongements algébriques de Cr_2(C) vers Cr_n(C). On décrit notamment quelques propriétés géométriques d'un plongement de Cr_2(C) dans Cr_5(C) dû à Gizatullin. En outre, on classifie tous les plongements algébriques de Cr_2(C) dans Cr_3(C) et on généralise ce résultat partiellement pour les plongements de Cr_n(C) dans Cr_{n+1}(C). Dans la deuxième partie, on regarde les suites des degrés des transformations birationnelles des variétés définies sur un corps quelconque. On montre qu'il n'existe qu'un nombre dénombrable de telles suites et on donne de nouvelles contraintes sur la croissance des degrés des automorphismes de l'espace affine de dimension n. Dans la troisième partie, on classifie les sous-groupes de Cr_2(C) qui ne contiennent que des éléments elliptiques, c'est-`a-dire des éléments dont les degrés des itérés sont bornés. On en déduit notamment l'alternative de Tits pour les sous-groupes quelconques de Cr_2(C). Dans la dernière partie on montre que tous les sous-groupes simples de type fini de Cr_2(C) sont finis et, sous l'hypothèse d'un lemme conjectural, qu'un groupe simple se plonge dans Cr_2(C) si et seulement s'il se plonge dans PGL_3(C). / The Cremona group in n-variables Cr_n(C) is the group of birational transformations of the complex projective n-space. This thesis contributes to the research on Cremona groups through the study of certain classes of „large'' subgroups. In the first part we consider algebraic embeddings of Cr_2(C) into Cr_n(C). In particular, we describe geometrical properties of an embedding of Cr_2(C) into Cr_5(C) that was discovered by Gizatullin. We also classify all algebraic embeddings from Cr_2(C) into Cr_3(C), and we partially generalize this result to embeddings of Cr_n(C) into Cr_{n+1}(C). In a second part, we look at degree sequences of birational transformations of varieties over arbitrary fields. We show that there exist only countably many such sequences and we give new obstructions on the degree growth of automorphisms of affine n-space. In the third part, we classify subgroups of Cr_2(C) containing only elliptic elements, i.e. elements whose iterates are of bounded degree. From this we deduce in particular the Tits alternative for arbitrary subgroups of Cr_2(C). In the last part, we show that every finitely generated simple subgroup of Cr_2(C) is finite and, under the hypothesis of an unproven conjectural lemma, that a simple group can be embedded into Cr_2(C) if and only if it can be embedded into PGL_3(C).