In dieser Arbeit werden die Modularobjekte zu zyklischen und separierenden Vektoren für von-Neumann-Algebren untersucht. Besondere Beachtung erfahren dabei die Modularoperatoren und deren Spektraleigenschaften. Diese Eigenschaften werden genutzt, um Klassifikationen für Lösungen einiger inverser Probleme der Modulartheorie anzugeben. Im ersten Teil der Arbeit wird zunächst der Zusammenhang zwischen dem zyklischen und separierenden Vektor und seinen Modularobjekten mit Hilfe (verallgemeinerter) Spurvektoren für halbendliche und Typ $III_{\lambda}$ Algebren ($0<\lambda<1$) näher untersucht. Diese Untersuchungen erlauben es, das Spektrum der Modularoperatoren für Typ $I$ Algebren anzugeben. Dazu werden die Begriffe {\em zentraler Eigenwert} und zentrale Vielfachheit eingeführt. Weiterhin ergibt sich, dass die Modularoperatoren durch ihre Spektraleigenschaften eindeutig charakterisiert sind. Modularoperatoren für Typ $I_{n}$ Algebren sind genau die $n$-zerlegbaren Operatoren, die multiplikatives, zentrales Spektrum vom Typ $I_{n}$ besitzen. ähnliche Ergebnisse werden auch für Typ $II$ und $III_{\lambda}$ Algebren gewonnen unter der Vorausetzung, dass die zugehörigen Vektoren diagonalisierbar sind. Im zweiten Teil der Arbeit werden diese Ergebnisse exemplarisch auf ein inverses Problem der Modulartheorie angewendet. Dabei stellt sich heraus, dass die Begriffe zentraler Eigenwert und zentrale Vielfachheit Invarianten des inversen Problems sind und eine vollständige Klassifizierung seiner Lösungen unter obigen Voraussetzungen erlauben. Außerdem wird eine Klasse von Modularoperatoren untersucht, für die das inversese Problem nur ein oder zwei Lösungsklassen besitzt. / In this work modular objects of cyclic and separating vectors for von~Neumann~algebras are considered. In particular, the modular operators and their spectral properties are investigated. These properties are used to classify the solutions of some inverse problems in modular theory. In the first part of the work the correspondence between cyclic and separating vectors and their modular objects are considered for semifinite and type $III_{\lambda}$ algebras ($0<\lambda<1$) in more detail, where (generalized) trace vectors are used. These considerations allow to compute the spectrum of modular operators for type $I$ algebras. To this end, the notions of central eigenvalue and central multiplicity are introduced. Furthermore, it is stated that modular operators are uniquely determined by their spectral properties. Modular operators for type $I_{n}$ algebras are exactly the $n$-decomposable operators, which possess {\em multiplicative central spectrum of type $I_{n}$}. Similar results are derived for type $II$ and $III_{\lambda}$ algebras under the assumption that the corresponding vectors are diagonalizable. In the second part of this work these results are applied to an inverse problem of modular theory. It comes out, that the central eigenvalues and central multiplicities are invariants of this inverse problem and that they give a complete classification of its solutions. Moreover, a class of modular operators is investigated, whose inverse problem possesses only one or two classes of solutions.

In dieser Arbeit werden die Modularobjekte zu zyklischen und separierenden Vektoren für von-Neumann-Algebren untersucht. Besondere Beachtung erfahren dabei die Modularoperatoren und deren Spektraleigenschaften. Diese Eigenschaften werden genutzt, um Klassifikationen für Lösungen einiger inverser Probleme der Modulartheorie anzugeben. Im ersten Teil der Arbeit wird zunächst der Zusammenhang zwischen dem zyklischen und separierenden Vektor und seinen Modularobjekten mit Hilfe (verallgemeinerter) Spurvektoren für halbendliche und Typ III lambda Algebren (0 < lambda <1) näher untersucht. Diese Untersuchungen erlauben es, das Spektrum der Modularoperatoren für Typ I Algebren anzugeben. Dazu werden die Begriffe zentraler Eigenwert und zentrale Vielfachheit eingeführt. Weiterhin ergibt sich, dass die Modularoperatoren durch ihre Spektraleigenschaften eindeutig charakterisiert sind. Modularoperatoren für Typ I n Algebren sind genau die n-zerlegbaren Operatoren, die multiplikatives, zentrales Spektrum vom Typ I n besitzen. ähnliche Ergebnisse werden auch für Typ II und III lambda Algebren gewonnen unter der Vorausetzung, dass die zugehörigen Vektoren diagonalisierbar sind. Im zweiten Teil der Arbeit werden diese Ergebnisse exemplarisch auf ein inverses Problem der Modulartheorie angewendet. Dabei stellt sich heraus, dass die Begriffe zentraler Eigenwert und zentrale Vielfachheit Invarianten des inversen Problems sind und eine vollständige Klassifizierung seiner Lösungen unter obigen Voraussetzungen erlauben. Außerdem wird eine Klasse von Modularoperatoren untersucht, für die das inversese Problem nur ein oder zwei Lösungsklassen besitzt. / In this work modular objects of cyclic and separating vectors for von~Neumann~algebras are considered. In particular, the modular operators and their spectral properties are investigated. These properties are used to classify the solutions of some inverse problems in modular theory. In the first part of the work the correspondence between cyclic and separating vectors and their modular objects are considered for semifinite and type III lambda algebras (0 < lambda < 1) in more detail, where (generalized) trace vectors are used. These considerations allow to compute the spectrum of modular operators for type I n algebras. To this end, the notions of central eigenvalue and central multiplicity are introduced. Furthermore, it is stated that modular operators are uniquely determined by their spectral properties. Modular operators for type I n algebras are exactly the n-decomposable operators, which possess multiplicative central spectrum of type I n. Similar results are derived for type II and III lambda algebras under the assumption that the corresponding vectors are diagonalizable. In the second part of this work these results are applied to an inverse problem of modular theory. It comes out, that the central eigenvalues and central multiplicities are invariants of this inverse problem and that they give a complete classification of its solutions. Moreover, a class of modular operators is investigated, whose inverse problem possesses only one or two classes of solutions.

[pt] Neste trabalho apresentamos a teoria de Tomita-Takesaki para uma álgebra de Von Neumann M com vetor cíclico separante u. Usamos o caso finito dimensional para motivar a teoria, depois prosseguimos para os argumentos analíticos geralmente empregados para provar o caso infinito dimensional. Também calculamos os operadores modulares da teoria para três exemplos padrão. Na mecânica estatística quântica, os estados de equilíbrio termodinâmico de um sistema físico com um número de partículas e volume finito são modelados pelos estados de Gibbs, enquanto no caso infinito eles são modelados pelos chamados estados KMS através da abordagem de álgebra de operadores. Mostramos como a teoria de Tomita-Takesaki fornece estados KMS naturais e a unicidade da evolução temporal do sistema físico para esses estados. / [en] In this work we present the Tomita-Takesaki theory for a Von Neumann algebra M with cyclic separating vector u. We use the finite-dimensional case to motivate the theory, and then proceed to the analytical arguments usually employed to prove the infinite dimensional case. Also, we calculate the modular operators from the theory for three standard examples. In quantum statistical mechanics, the thermodynamic equilibrium states of a physical system with finitely many particles and finite volume are modeled by Gibbs states, while in the infinite case they are modeled by the so called KMS states through the operator-algebraic approach.We show how Tomita-Takesaki theory provides natural KMS states and the uniqueness of the time evolution of the physical system for those states.