[pt] Nesta tese estudamos duas classes de problemas. A primeira delas diz respeito a uma equação completamente não-linear que degenera como uma potência do gradiente. A presença desta interface afeta a elipticidade do sistema e produz redução da regularidade. Combinando técnicas da análise harmônica com métodos da teoria da medida, desenvolvemos uma análise tangencial que produz resultados de regularidade para as soluções em espaços de Sobolev. Como consequência, nossos resultados implicam estimativas em espaços de Hölder para o gradiente das soluções, desconhecidas na literatura no caso de termos de fonte não-limitados. A segunda parte trata de um problema de transmissão livre, governado por operadores completamente não-lineares. Neste caso, obtemos regularidade ótima para as soluções, assim como informações sobre a fronteira livre associada. / [en] This thesis focuses on two classes of problems. Firstly, we examine fully nonlinear equation degenerating as a power of the gradient. The interface along which ellipticity collapses introduces substantial difficulties in the analysis and affects the regularity of the solutions. Through methods in harmonic analysis and measure theory we produce a geometric analysis of the problem, which leads to estimates in Sobolev spaces. Furthermore, our findings set an important open problem in the literature, namely: the H lder-continuity for the gradient of solutions in the presence of unbounded source terms. The second part of the thesis focuses on a free transmission problem driven by fully nonlinear operators. On this topic, our results include the optimal regularity of the solutions and an analysis of the associated free boundary.

[pt] Primeiro examinamos soluções de viscosidade Lp para equações elípticas totalmente não lineares com ingredientes de fronteira mensuráveis. Ao considerar p0 < p < d, focamos nas estimativas da regularidade dos gradientes derivadas de potenciais não lineares. Encontramos condições para Lipschitz-continuidade local das soluções e continuidade do gradiente. Examinamos avanços recentes na teoria da regularidade decorrentes de estimativas potenciais (não lineares). Nossas descobertas decorrem de – e são inspiradas por – fatos fundamentais na teoria de soluções de Lp-viscosidade, e resultados do trabalho de Panagiota Daskalopoulos, Tuomo Kuusi e Giuseppe Mingione (DKM2014). Na segunda parte provamos a regularidade parcial de mapas harmônicos com peso fracamente estacionários com dados de fronteira livre em um cone. Como ponto de partida, damos uma olhada na teoria da regularidade parcial interior para mapas harmônicos fracionários de minimização de energia intrínseca do espaço euclidiano em variedades Riemannianas compactas e suaves para potências fracionárias estritamente entre zero e um. Mapas harmônicos fracionários intrínsecos podem ser estendidos para mapas harmônicos com peso, então provamos regularidade parcial para mapas harmônicos minimizantes locais com dados de fronteira (parcialmente) livres em meios-espaços, mapas harmônicos fracionários então herdam essa regularidade. / [en] We first examine Lp-viscosity solutions to fully nonlinear elliptic equations with bounded measurable ingredients. By considering p0 < p < d, we focus on gradient-regularity estimates stemming from nonlinear potentials. We find conditions for local Lipschitz-continuity of the solutions and continuity of the gradient. We survey recent breakthroughs in regularity theory arising from (nonlinear) potential estimates. Our findings follow from – and are inspired by – fundamental facts in the theory of Lp-viscosity solutions, and results in the work of Panagiota Daskalopoulos, Tuomo Kuusi and Giuseppe Mingione (DKM2014). In the second part we prove partial regularity of weakly stationary weighted harmonic maps with free boundary data on a cone. As a starting point we take a look at the interior partial regularity theory for intrinsic energy minimising fractional harmonic maps from Euclidean space into smooth compact Riemannian manifolds for fractional powers strictly between zero and one. Intrinsic fractional harmonic maps can be extended to weighted harmonic maps, so we prove partial regularity for locally minimising harmonic maps with (partially) free boundary data on half-spaces, fractional harmonic maps then inherit this regularity.