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[en] MINIMAL SURFACES IN R3 / [pt] SUPERFÍCIES MÍNIMAS EM R3FELIPE DE ALBUQUERQUE MELLO PEREIRA 10 October 2013 (has links)
[pt] Neste trabalho estudamos a teoria clássica das superfícies mínimas em
R3, focando na representação de Enneper-Weierstrass e suas consequências.
São exibidos vários exemplos, incluindo as superfícies de Jorge-Meeks e de
Jorge-Xavier. Também mostramos princípios do máximo para superfícies
mínimas e várias aplicações como, por exemplo, o teorema do semi-espaço.
Em seguida, nos concentramos na teoria das superfícies mínimas completas
de curvatura total finita e, com esta, podemos analisar o desenvolvimento
assintótico de fins mínimos completos mergulhados de curvatura total finita.
Por fim, a dissertação culmina com o teorema de Schoen, que afirma que
as únicas superfícies mínimas completas, conexas, de curvatura total finita
e apenas dois fins - ambos mergulhados - são um par de planos e o
catenoide. / [en] In this work we study the classical theory of minimal surfaces in
R3, with special focus on the Enneper-Weierstrass representation and
its consequences. We exhibit many examples, including the Jorge-Meeks
and Jorge-Xavier surfaces. We also show maximum principles for minimal
surfaces and many applications as, for instance, the half-space theorem.
Afterwards, we focus on the theory of complete minimal surfaces with finite
total curvature, with which we can analyse the asymptotic development
of complete minimal embedded ends with finite total curvature. This
dissertation culminates with the Schoen s theorem, which states that the
only complete, connected minimal surfaces with finite total curvature and
exactly two ends - both embedded - are a pair of planes or a catenoid.
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[en] COMPLETE BOUNDED MINIMAL SURFACES IN R3 / [pt] SUPERFÍCIES MÍNIMAS COMPLETAS E LIMITADAS EM R3YUNELSY NAPOLES ALVAREZ 09 November 2021 (has links)
[pt] Há alguns anos temos visto um grande progresso na resolução de problemas antigos na teoria das superfícies mínimas. Dentre esse problemas estão as conjecturas de Calabi-Yau, que datam dos anos 60 do século passado. A primeira delas afirmava que não existiam superfícies mínimas completas
contidas em uma bola de R3, e a segunda que todas as superfícies mínimas completas tinham uma projeção ilimitada em cada eixo. Neste trabalho pretendemos revisar dois exemplos que mostram a falsidade da segunda conjectura. O primeiro foi dado por L. P. Jorge e F. Xavier (1980), e o segundo por
H. Rosenberg e E. Toubiana (1987). A primeira conjectura também é falsa. O primeiro contraexemplo foi dado por N. Nadirashvili (1996) e também constitui um contraexemplo da conjectura de Hadamard, que afirmava que não existiam superfícies completas limitadas com curvatura Gaussiana negativa. O desenvolvimento do artigo de Nadirashvili é o principal objetivo desta dissertação. A técnica usada nestes três trabalhos é o uso da Representação de Enneper-Weierstrass, combinada com aplicações adequadas do Teorema de Runge. / [en] During some years we have seen great progress in solving old problems
in minimal surfaces theory. Among these problems are the Calabi-Yau s
conjectures, dating from the 60s of last century. The first one stated that there
were no complete minimal surfaces contained in a ball of R3, and the second one
that all complete minimal surface should have an unbounded projection in each
axes. In this work we pretend to review two examples that proof the falsity of
the second conjecture. The first one was given by L. P. Jorge e F. Xavier (1980)
and the second one by H. Rosenberg e E. Toubiana (1987). The first conjecture
is also false. The first counterexample was given by N. Nadirashvili (1996) and
it is also a counterexample to the conjecture of Hadamard, which stated that
there were no complete bounded surfaces with negative Gaussian curvature.
Development of Nadirashvilli s article is the main objective of this dissertation.
The technique used in these three works is the use of the Enneper-Weierstrass
Representation, combined with appropriate applications of Runge s theorem.
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