[pt] A teoria dos Jogos Combinatórios é o estudo de jogos com informação completa. Isso é, todos os jogadores conhecem todos os possíveis movimentos, além disso, temos que não há sorte ou a habilidade de realizar um movimento, então, em teoria jogar perfeitamente é possível. Exemplos de jogos assim são jogo da velha, xadrez, damas, Nim... a lista continua. Nessa dissertação focamos no jogo Maker-Breaker. Ele tem dois jogadores que sequencialmente escolhem um vértice de um hipergrafo. O objetivo de Maker é escolher todos os vértices de uma aresta e o objetivo de Breaker é prevenir isso. Para entender em quais tipos de hipergrafos Maker ou Breaker ganha e quais são as estratégias de vitória utilizamos SAT, probabilidade, teoria dos grafos em geral e mais. / [en] The theory of Combinatorial Games is the study of games with perfect information. This means that all players have knowledge of all possible moves, also there isn t luck or skill to perform a move, so, in theory perfect play is possible. Examples of games like these are tic-tac-toe, chess, checkers, Nim... the list goes on. In this dissertation we focus on the Maker-Breaker game. It has two players that pick a vertex from a hypergraph. The goal of Maker is to claim all vertices of an edge and the goal of Breaker is to prevent it. To understand in which types of hypergraphs does Maker or Breaker win and what are the winning strategies, we make use of SAT, Probability, general Graph Theory and more.

[pt] O presente trabalho propõe um método estatístico computacionalmente eficiente (chamado Green-FOSM) para consideração de incertezas em problemas geomecânicos, com o objetivo de melhorar o processo de tomada de decisão ao analisar problemas associados com o processo de injeção ou depleção de fluídos. A novidade do método proposto está associada com a utilização do método das funções de Green (GFA), que, com o auxílio do método estatístico first-order second-moment (FOSM), é utilizado para propagar as inerentes incertezas associadas às propriedades mecânicas do material para o campo de deslocamento da formação geológica. Além disso, através dos conceitos de grid estocástico e função de autocorrelação, o método proposto permite a consideração da variabilidade espacial de variáveis aleatórias de entrada que representam essas propriedades mecânicas. O GFA utiliza as soluções fundamentais da mecânica clássica (solução fundamental de Kelvin, solução fundamental de Melan, entre outras) e o teorema da reciprocidade para determinar o campo de deslocamento de uma formação geológica com geometria irregular e diferentes tipos de materiais. A grande vantagem deste método em relação ao clássico método dos elementos finitos (MEF) é que ele não requer a imposição de condições de contorno e a análise do problema pode ser realizada considerando apenas o domínio do reservatório ou outras regiões de interesse. Esta estratégia de modelagem diminui os graus de liberdade do modelo e o tempo de processamento da análise. Desta forma, como o GFA requer menos esforço computacional, este método torna-se ideal para ser utilizado na propagação de incertezas em problemas geomecânicos. Inicialmente, baseado no método das funções de Green original proposto por Peres et al. (2021), foi proposto uma versão iterativa do método Green-FOSM, que apresenta resultados estatísticos semelhantes aos encontrados através da clássica simulação de Monte Carlo (SMC). Nesta versão original, o campo de deslocamento é PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1912634/CA calculado usando um esquema numérico iterativo que diminui o desempenho computacional do método e pode gerar problemas de convergência. Tais limitações tem dificultado a aplicação do GFA original e do método Green-FOSM iterativo em problemas reais. Assim, o presente trabalho desenvolveu uma nova versão do GFA que utiliza um esquema numérico não-iterativo. Para os problemas de validação analisados, o método não-iterativo demonstra ser até 17.5 vezes mais rápido do que a versão original. Além disso, esta versão demonstra ser capaz de expandir a aplicabilidade do GFA, pois os problemas de convergência foram eliminados e os resultados obtidos por este método, ao analisar um perfil geológico representativo do pré-sal brasileiro, são semelhantes aos encontrados via MEF. Por fim, a partir do GFA não-iterativo foi proposta uma versão não-iterativa do método Green-FOSM. Esta versão não-iterativa é capaz de analisar probabilisticamente formações geológicas complexas, como é o caso das formações geológicas do présal brasileiro. Utilizando os mesmos recursos computacionais, o método GreenFOSM não-iterativo é no mínimo 200 vezes mais rápido que o método iterativo. De forma geral, os resultados encontrados nas análises realizadas (determinísticas e probabilísticas) são próximos dos resultados obtidos pelo método de referência (MEF e SMC, respectivamente). / [en] The present work proposes a computationally efficient stochastic statistical method (called Green-FOSM) that considers uncertainties in geomechanical problems, with the objective of improving the decision-making process related to problems associated with the process of fluid injection or depletion. The novelty of the method lies in the use of the Green s function approach (GFA), which, together, with the first-order second-moment statistical method (FOSM), is used to propagate uncertainties associated with the mechanical properties of material to the displacement field of the geological formation. Furthermore, using the concepts of stochastic grid and autocorrelation function, the proposed method allows the consideration of the spatial variability of random variables that represent these mechanical properties. The GFA uses the fundamental solutions of classical mechanics (Kelvin fundamental solution, Melan fundamental solution, among others) and the reciprocity theorem to calculate the displacement field of a geological formation with irregular geometry, and different types of materials. The great advantage of this method compared to the classical finite element method (FEM) is that it does not require the imposition of boundary conditions and the analysis of the problem can be performed considering only the reservoir or other regions of interest. This modeling strategy decreases the degrees of freedom of the model and the CPU time of the deterministic analysis. In this way, as the GFA requires less computational effort, this approach becomes ideal for propagating the uncertainties in geomechanical problems. Initially, an iterative version of the Green-FOSM method was proposed, which presents statistical results similar to those found through the classic Monte Carlo simulation (MCS). In this initial version, the displacement field is calculated using an iterative numerical scheme, which decreases the computational performance of the method and can generate convergence problems. Such limitations would restrict the application of the PUC-Rio - Certificação Digital number 1912634/CA original GFA and the iterative Green-FOSM method in real problems. Thus, the present work also developed a new version of the GFA, which uses a non-iterative numerical scheme. For the proposed validation problems, the non-iterative method proved to be up to 17.5 times faster than the original version. This version is able to expand the applicability of the GFA, since the convergence problems were eliminated and the results obtained by this method, when analyzing a representative geological profile of the Brazilian pre-salt, are similar to those found via FEM. Finally, based on the non-iterative GFA, a non-iterative version of the Green-FOSM method was proposed. This non-iterative version is capable of probabilistically analyzing complex geological formations, such as the Brazilian pre-salt geological formations. Using the same computational resources, the non-iterative GreenFOSM method is at least 200 times faster than the iterative Green-FOSM method. In general, the results found in the investigated analyzes (deterministic and probabilistic) are close to the results obtained by the reference method (FEM and MCS, respectively).